1.7. Входное сопротивление линии без потерь

Понятие входного сопротивления длинной линии было введено в (1.22). В этом выражении под входным сопротивлением длинной линии понимается отношение комплексных амплитуд напряжений и тока в некотором сечении линии, удаленном на расстояние от конца линии. По существу, это входное сопротивление линии длиной .

Так как для линии без потерь амплитуды как падающих, так и отраженных волн напряжения и тока не меняются с длиной , то входное сопротивление линии является периодической функцией с периодом, равным половине длины волны:

.

Выражение для Z_ВХ можно получить, если первое уравнение в (1.33) или в (1.34) разделить на второе:

(1.57)

(1.58)

Нетрудно заметить, что значение входного сопротивления в значительной степени определяется режимом работы линии без потерь. Рассмотрим наиболее характерные режимы.

Согласование. Так как в режиме согласования Z_Н=Zв и Г_Н=0,то из (1.57) и (1.58) следует Z_ВХ=Zв. Таким образом, в данном случае входное сопротивление не изменяется по длине линии, оставаясь равным её волновому сопротивлению, рис.4, а.

Холостой ход. В этом случае Z_Н →∞, Г_Н=1 и, как следует из (1.57) и (1.58):

(1.59)

Итак, в случае холостого хода входное сопротивление линии является мнимой величиной. Оно обращается в нуль в тех точках линии, где равно нулю напряжение , и уходит в бесконечность, где равен нулю ток (рис. 4,б).

а)	в)
б)	Рис. 4

Короткое замыкание. В этом режиме Z_Н=0, Г_Н=-1 и, следовательно:

(1.60)

Распределение по длине линии представлено на рис.1.4, в. Нетрудно видеть, что данный график сдвинут относительно графика рис. 4,б на четверть длины волны. Данное обстоятельство объясняется спецификой распределения тока и напряжения в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Общий случай. С учетом того, что , выражение (1.57) можно переписать следующим образом:

(1.61)

Как видно из (1.61), функции достигает максимума в тех точках линии, для которых выполняется:

и достигает минимума в тех точках линии, где

Тогда координаты максимумов :

и координаты минимумов:

В точках максимумов значение входного сопротивления:

а в точках минимумов:

Отметим, что значения входного сопротивления линии без потерь в максимумах и минимумах являются действительными, т.е. относительно этих зажимов линия может быть представлена активным сопротивлением. Максимумы и минимумы чередуются через половину длины волны каждый, а расстояние между ближайшими максимумом и минимумом составляет четверть длины волны. В остальных точках линии значение входного сопротивления является комплексной величиной.

В заключение раздела остановимся на некоторых особенностях, связанных с входным сопротивлением линий без потерь.

1. Как следует из (1.59) и (1.60), в режимах холостого хода и короткого замыкания входное сопротивление линии меняется от до + . Следовательно, всегда можно подобрать длину отрезка короткозамкнутой или разомкнутой линии без потерь такой, чтобы при заданной частоте колебаний, входное сопротивление отрезка имело наперед заданное реактивное сопротивление.

2. Как следует из (1.60), при . Этот сам по себе интересный факт, что закороченный четвертьволновый отрезок линии без потерь имеет бесконечно большое входное сопротивление, обладает богатыми практическими приложениями. В частности, такие отрезки линии можно использовать как изоляторы.

3. Напротив, согласно (1.59) при , т.е. разомкнутый на конце четвертьволновый отрезок линии без потерь эквивалентен коротко - замкнутой по входу цепи.

4. При , как следует из (1.58), . Поэтому полуволновый отрезок линии без потерь эквивалентен идеальному трансформатору с коэффициентом трансформации равным единице. В этой связи подключение между нагрузкой и линией отрезков линий с длинами, кратными не вносит никаких изменений в режим работы линии.