1.5. Уравнения передачи длинной линии (длинная линия как четырехполюсник)

Для решения ряда прикладных задач достаточно знать соотношения между напряжениями и токами только на внешних зажимах линии, т.е. рассматривать, по существу, линию как четырехполюсник.

Уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на внешних зажимах длинной линии, называются уравнениями передачи линии.

Используя выражения (1.17) и (1.20) и подставляя , можно получить:

Произведя соответствующие группировки членов последних уравнений, получим:

(1.28)

или в матричной форме:

(1.29)

Последнее выражение совпадает по форме (если положить Ủ_Н= Ủ₂; İ_Н= İ₂) с уравнениями четырехполюсника в характеристических параметрах, поэтому матрица

может быть определена как матрица передачи четырехполюсника, образованного отрезком линии длиной l.

Из матрицы следует, что отрезок однородной линии является обратимым и симметричным четырехполюсником (det||A||=1, А₁₁=А₂₂), у которого характеристическое сопротивление совпадает с волновым, а мера передачи – с величиной γl.

Для определения величины Zв и γl используем режимы короткого замыкания и холостого хода линии (по аналогии с теорией четырехполюсников).

Для режима короткого замыкания на выходных зажимах линии, т.е. при Ủ_Н=0 (Z_Н=0), из уравнений (1.28) следует:

(1.30)

Для режима холостого хода на выходных зажимах линии İ_Н=0 (Z_Н→∞) получим:

(1.31)

Совместное решение (1.30) и (1.31) позволяет найти Zв и γl.

(1.32)

По результатам вычисления волновых параметров линии, можно определить и первичные параметры. В самом деле, из (1.11) следует:

откуда находятся величины L₀, C₀, R₀, G₀.

1.6. Линии без потерь

В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении рассматривать длинную линию как линию, не имеющую потерь, т.е. пренебрегать активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными величинами. Отметим здесь, что в реальных цепях с распределенными параметрами довольно часто имеет место ωL₀>>R₀ и ωC₀>>G₀.

Итак, положим R₀=G₀=0. В этом случае для коэффициента распространения получим:

при этом .

Волновое сопротивление становится действительной величиной , а фазовая скорость определяется только первичными параметрами линии и отсутствует её зависимость от частоты.

С учетом этого уравнения (1.24) можно представить в следующем виде:

(1.33)

и, соответственно, уравнения передачи длинной линии (1.28)

(1.34)

Как видно из уравнения (1.33) распределение напряжений и токов в длинной линии без потерь в значительной степени, определяется величиной Г_Н, которая в свою очередь зависит от соотношения волнового сопротивления и сопротивления нагрузки. Рассмотрим наиболее характерные случаи режима работы длинной линии без потерь.

Режим согласования. Этот режим работы линии характеризуется равенством сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линии, т.е. Z_Н=Zв. В этом случае в соответствии с (1.25) Г_Н=0, что свидетельствует об отсутствии отраженной волны. Тогда, из (1.33) следует:

Переходя к мгновенным (временным) значениям тока и напряжения, получаем:

где φ_Н – фаза напряжения и тока в нагрузке (Z_Н - действительная величина).

Таким образом, в линии без потерь в режиме согласования (или режиме согласованной нагрузки) существует только падающая бегущая волна напряжения и тока, амплитуда которой постоянна по всей длине линии. Последнее обстоятельство обусловлено отсутствием затухания в линии.

График изменения амплитуды напряжения и тока в линии по ее длине для случая согласования представлен на рис. 3, а.

Холостой ход. В этом режиме Z_Н→∞, т.е. İ_Н=0. Коэффициент отражения равен единице: Г_Н=1. Таким образом, амплитуды обратной и прямой волн напряжения и тока равны, и в линии существуют так называемые стоячие волны напряжения и тока.

а)	в)
б)	| İ | г)
Рис. 1.3

Из (1.33) следует:

или

(1.35)

Заметим, что последние соотношения непосредственно следуют из (1.34) при İ_Н=0.

Мгновенные значения:

(1.36)

Выражение (1.36) представляют собой выражения для стоячих волн. Таким образом, в случае режима холостого хода распределение напряжения и тока в линии без потерь аналогично распределению типа «стоячая волна». Для такого режима характерно наличие в линии точек, в которых амплитуда колебаний равна нулю (узлы) и точек, в которых она максимальна (пучность). Определим координаты узлов и пучностей напряжений и токов.

В соответствии с (1.35) узлы напряжения находятся в точках, для которых сos =0, и так как β=2π/λв, то координаты узлов напряжения:

(1.37)

где k=0; 1; ….

Пучности напряжения находятся в точках, где cos =±1. Откуда координаты пучностей напряжения:

(1.38)

Аналогично для тока из (1.35) получаем

(1.39)

(1.40)

Как видно из (1.37)-(1.40), соседние узлы (пучности) как напряжения, так и тока находятся на расстоянии половины длины волны в линии один от другого, в то время как расстояние между ближайшими пучностями и узлами составляет четверть длины волны.

Отметим, что узлы (пучности) тока сдвинуты относительно узлов (пучностей) напряжения в режиме холостого хода на четверть волны. В нагрузке (k=0) находятся пучность напряжения и узел тока.

Распределение амплитуд тока и напряжения для режима холостого хода представлено на рис. 3, б.

Короткое замыкание. В этом случае Z_Н=0, т.е. Ủ_Н=0. Из (1.25) следует, что Г_Н = . Таким образом, амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока равны, но сами эти волны сдвинуты по фазе на π.

Как следует из (1.33),

или

(1.41)

Как и в предыдущем случае, выражение (1.41) прямо следует из (1.34), если в (1.34) положить Ủ_Н=0.

Мгновенные значения:

(1.42)

Последние выражения являются выражениями для стоячих волн. Таким образом, в случае короткого замыкания распределение напряжений и токов в линии без потерь аналогично распределению типа стоячих волн.

Аналогично предыдущему случаю координаты узлов и пучностей напряжения:

(1.43)

(1.44)

И координаты узлов и пучностей тока:

(1.45)

(1.46)

Характер распределения амплитуд тока и напряжения для режима короткого замыкания аналогичен случаю холостого хода. Отметим, что в данном случае в нагрузке (k=0) находится узел напряжения и пучность тока.

Распределение амплитуд представлено на рис. 3, в.

Общий случай. В предыдущих разделах были найдены распределения токов и напряжений в длинных линиях без потерь либо для случая полного отражения от конца линии (|Г_Н|=1), либо для случая отсутствия отражений (|Г_Н|=0). В любом другом случае модуль коэффициента отражения меньше единицы и амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей.

Положим в первом выражении (1.33) без потери общности , а во втором выражении – .

Тогда, учитывая, что Г_Н – комплексное число и, следовательно, для уравнений (1.33) получим:

(1.47)

Для мгновенного значения напряжения в линии:

(1.48)

Добавим и вычтем в правой части (1.48) . После несложных преобразований получим:

(1.49)

Аналогичное выражение получается и для тока

Как видно из (1.49), данный режим в линии без потерь можно рассматривать как наложение режимов бегущей волны (первое слагаемое) и стоячей волны (второе слагаемое) в (1.49). Подобный режим колебаний в линии называют режимом смешанных волн.

Определим распределение амплитуд напряжений и тока в длинных линиях без потерь в режиме смешанных волн.

Рассматривая первые слагаемые в (1.47), как комплексные амплитуды прямых волн, а вторые слагаемые – как комплексные амплитуды обратных волн, можно предположить, что максимальные значения амплитуды напряжения будут в тех точках линии, где прямые и обратные волны складываются в фазе, а минимальные значения этой функции – где падающие и отраженные волны складываются в противофазе.

Таким образом, для максимальных значений должно выполняться следующее соотношение:

,

а для минимальных значений:

Тогда координаты точек максимальных и минимальных значений амплитуды напряжения :

(1.50)

Из (1.47) и (1.50) следует, что в точках амплитуда напряжения равна

, (1.51)

а в точках :

(1.52)

Что касается точек линий, в которых амплитуда тока достигает максимума и минимума, то в соответствии с (1.47) максимумы тока будут в тех точках, в которых падающая и отраженная волны тока складываются в противофазе, а минимумы тока будут в тех точках, где сложение этих волн – в фазе.

Тогда для координат максимумов и минимумов амплитуды тока получим:

(1.53)

Из (1.47) и (1.53) следует, что

(1.54)

Значение амплитуд тока и напряжения в промежуточных точках можно найти из уравнений (1.47). Распределения и представлены на рис. 1.3, г (общий случай). Из рисунка видно, что максимумы и минимумы как напряжения, так и тока расположены с интервалом в половину длины волны, в то время как два соседних максимума и минимума сдвинуты на четверть длины волны.

На практике часто используют величину, называемую коэффициентом стоячей волны (к.с.в.) – ρ:

(1.55)

Учитывая (1.52) и (1.54), можно получить связь коэффициента стоячей волны с коэффициентом отражения:

(1.56)

Очевидно, при согласовании , во всех остальных случаях и стремится в бесконечность в режиме стоячих волн . Удобство практического использования величины ρ объясняется простотой его определения из экспериментально снятых распределений амплитуды тока и напряжения по длине линий. По известному ρ из (1.56) легко определяется модуль коэффициента отражения.