Смешанная амплитудно-частотная модуляция

.

Спектральная плотность косинусного квадратурного колебания при =0 будет

При определении спектра синусного квадратурного колебания фазовый угол следует приравнять -90°. Следовательно,

В области положительных частот можно считать

Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания определяется выражением

Переходя к переменной , получаем

.

Структура спектра сигнала при смешанной амплитудно-частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций А(t) и q(t).

Он может быть не симметричен относительно частот w_о и -w_о , но он всегда симметричен относительно нуля. Нарушение симметричности спектра относительно w_о и -w_о говорит о наличии в сигнале кроме амплитудной модуляции паразитной фазовой или частотной модуляции.

При частотной модуляции фазы нечетных гармоник изменяются на 180°. Одновременная модуляция и по частоте, и по амплитуде при некоторых соотношениях А(t) и q(t) приводит к нарушению симметричности спектра на только по фазе, но и по амплитуде.

Если q(t) является нечетной функцией от t, то при любых А(t) спектр выходного сигнала является несимметричным.

Пусть А(t) — четная функция, тогда А_с(t) — четная, А_s(t) — нечетная, является чисто вещественным, симметричным относительно W, четным, а — чисто мнимым, несимметричным относительно W и нечетным.

С учетом множителя j спектр выходного колебания является вещественным.. В результате спектр получился несимметричным, но по отношению к w=0 он является симметричным. Такой же результат можно получить и при нечетной функции А(t). В этом случае спектр является чисто мнимым и нечетным.

Для симметричности выходного спектра требуется четность q(t) при условии, что А(t) было либо четным, либо нечетным относительно t. Если А(t) является суммой четных и нечетных функций, то выходной спектр несимметричен при любых условиях.

Фаза у ЛЧМ четная и амплитуда четная.

1. 

   А(t) и q(t) — четные функции, тогда выберем простейшую тональную модуляцию.

причем

Выходной спектр получился симметричным.

2. А(t) = четная функция + нечетная функция, а q(t) — четная функция.

Предположим, что , где .

Спектр получился несимметричным.

Узкополосный сигнал

Под ним понимается любой сигнал, у которого полоса частот, занимаемая сигналом значительно меньше несущей частоты: .

,

где А_s(t) — синфазная амплитуда, В_s(t) — квадратурная амплитуда.

Комплексная амплитуда узкополосного сигнала .

,

где — оператор вращения.

Простейшее колебание можно представить в форме , где . В этом выражении огибающая А(t) в отличие от А_о является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функции а(t)

,

откуда

.

Из этого выражения видно, что новая функция А(t) по существу не является “огибающей” в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а(t) (вместо касания в точках, где А(t) имеет максимальное значение). То есть мы не верно определили огибающую и частоту. Существует метод мгновенной частоты — метод Гильберта для определения частоты.

Если сигнал , то тогда

Полная фаза сигнала , а мгновенная частота

Физическая огибающая .

Предположим, что выбрали опорную частоту не w_о , а w_о+Dw, тогда

, где .

Первое свойство комплексной огибающей:

Модуль комплексной огибающей равен физической огибающей и постоянен, не зависит от выбора частоты.

Второе свойство комплексной огибающей:

Модуль сигнала s(t) всегда меньше или равен u_s(t). Равенство наступает тогда, когда cos w_ot = 1. В эти моменты производная сигнала и производная огибающей равны.

Физическая огибающая совпадает с максимальным значением амплитуды сигнала.

Зная комплексную огибающую можно найти ее спектр, а через него сам сигнал.

,

.

Зная G(w) найдем U_s(t).

Помножим на (-b-jt) и получим вещественную и мнимую части соответственно , . Отсюда амплитуда будет .