§2.3 Геометрическая интерпретация MultiVaR-схемы и критерии оценки эффективности схемы
Более
подробно рассмотрим геометрическую
интерпретацию Multi-VaR-схемы.
Имеем набор параметров
и 
,
который является в рамках решения
конкретной задачи фиксированным.
Оптимизационная процедура тогда сводится
к максимизации функции 
и по существу к максимизации критериев
(что и является смыслом оптимизации).
Рассмотрим
координатную плоскость 
,
которая в данном случае будет критериальной.
На координатной плоскости можем построить
при некоторой фиксации вектора-портфеля
x
график зависимости 
.
Максимизация функции
приводит к изменению управляющих
переменных, т.е. вектора-портфеля
.
В связи с этим меняется и расположение
точек на графике
.
Поскольку,
как было отмечено, многокритериальная
оптимизация не приводит в общем случае
к лучшим значениям каждого критерия, а
лишь доставляет некоторое компромиссное
решение, то существует вероятность, что
не все значения критериев 
улучшатся (в данном случае увеличатся).
При этом очевидно, что критерии,
претерпевшие «улучшение», сместят
точки, соответствующие им, вправо,
остальные либо не изменят своего
положения, либо сместятся влево. Результат
оптимизации - это смещение графика или
отдельных его частей, в зависимости от
значений параметров, вправо.
В
связи с этим замечанием в качестве
наглядного критерия эффективности
схемы и подбора коэффициентов можно
рассматривать смещение графика
вправо. Введем эталонное распределение
,
соответствующее равномерно распределенному
вектору 
.
Введем также функцию 
,
поскольку функция
монотонно возрастающая, то есть
возможность найти обратную. Как раз
площадь (вернее интеграл по области
изменения 
от функции 
)
под графиком функции
и будем рассматривать в качестве
численного значения эффективности
портфеля на этом этапе.
Решение
конкретной по Multi-VaR-схеме
задачи с вектором коэффициентов
компромисса 
и при равномерном распределении множества
на отрезке [0;1] приводит к следующим
результатам: решая задачу, таким образом,
мы получаем портфель, значение
эффективности которого в выбранном
смысле является положительной величиной.
Наглядным является смещение графика
вправо. На Рис.2.1 видно, что даже при
некотором «вытягивании» левой части
графика влево, график в целом смещается
вправо.
P
P
Rp
Rp
Рис.2.1
Зависимость
для равномерно-распределенного портфеля
и портфеля эффективного.
На Рис.2.2 приведен график , на котором видно, что площадь под графиком положительная. Таким образом, этот пример показывает, что расчет по Multi-VaR-схеме, используя описанные численные алгоритмы, дает положительную величину эффективности в вышеуказанном смысле.
_R*
ΔR
Рис.2.2 График зависимости .
Глава 3. Исследование Multi-VaR-схемы на выборках значений эффективностей
§3.1 Постановка задачи
При различных вариантах постановки задачи оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности требуется для вычислений наличие различных объектов и величин, методы и подход построения которых определяется входными данными.
В условиях рассматриваемой задачи в рамках схемы Multi-VaR (1.3), необходимым объектом является, прежде всего, функция распределения для рассматриваемой характеристики эффективности (которая носит случайный характер) для каждого возможного состава портфеля или набор значений эффективности, позволяющих восстановить функцию распределения.
Задачи оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, когда исходные данные представлены в виде числовых рядов, приводят к задачам восстановления распределений по выборам значений эффективностей. К таким задачам относятся, в частности, поиск эффективных портфелей на инвестиционных рынках.
В условиях существования большой по объему выборки исторических данных для некоторого портфеля за искомую функцию распределения принимается оценка функции распределения, построенная по историческим данным. В данной работе для поиска эффективных портфелей задачи оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности использовалась эмпирическая функция распределения, определенная для любого портфеля x:
, (3.1)
где
– функция Хевисайда, 
– выборка исторических данных.
Таким образом, учитывая все поправки, представленные в §2.1, посвященному решению задачи многокритериальной оптимизации, решаем задачу по Multi-VaR-схеме с помощью описанных алгоритмов (Алгоритм 1 и 2).