§3.3 Учет ограничений линейного вида

Итак, имеем Multi-VaR-схему поиска эффективных портфелей. Теперь рассмотрим учет ограничений, в частности ограничений линейных, которые являются наиболее распространенными и включают в себя множество так называемых групповых ограничений.

При необходимости учета ограничений можем сделать следующие изменения. Решая задачу, по аналогии с методом проекции градиента проецируем полученное значение, выходящее за пределы области ограничений, на границу области. Таким образом, получаем оптимальное решение в области или на границе. В случае линейных ограничений в -мерном пространстве вида получим следующее правило для проецирования:

, (3.3)

где – вектор-результат, выходящий за область ограничений, -ая компонента вектора (правая часть неравенства ограничений), -ая строка матрицы .

Наглядно и очевидно проецирование осуществляется в случае При проецировании необходимо организовывать дополнительный итерационный процесс, т.к. точка, удовлетворив одному условию, может выйти за пределы его при проецировании по другим условиям. Проиллюстрируем сказанное :

Рис.3.4 Область ограничений и проецирование.

Точка а, изначально удовлетворявшая условию 1, которое отражается прямой 1, при проецировании на прямую 2 перестает удовлетворять условию 1.

Для проверки правильности метода попытаемся наложить ограничения на получаемые результаты. Очевидно, что сужение области допустимых значений вектора , за счет внесения дополнительных ограничений не улучшит значение эффективности решения задачи в выбранном смысле.

В качестве примера можно привести следующие результаты:

ef

ef

ef

b_L

b_L

b_L

b_R

b_R

b_R

Рис.3.5 Приведены поверхности а) без ограничений; б) с одним существенным ограничением; в)с двумя существенными ограничениями.

На них отчетливо видно влияние ограничений на результаты вычислений.

Глава 4. Применение схем формирования эффективных портфелей для определения очередности реализации инвестиционных проектов

§4.1 Постановка задачи

В качестве входных данных имеем набор инвестиционных проектов, для которых имеются заданные и определенные на основе экспертных оценок следующие характеристики: стоимость проекта – сумма, которая требуется для финансирования проекта, рентабельность финансирования проекта, риск финансирования проекта, срок окупаемости проекта.

Общий подход постановки задачи формирования эффективных портфелей сохраняется, как и для случая, когда решается аналогичная задача по выборке значений эффективности. Для решения задачи формирования эффективных портфелей, имея вышеперечисленные входные данные, необходимо сделать некоторые предположения. В частности считаем, что величины эффективности финансирования инвестиционных проектов – случайные величины, распределенные по нормальному закону, а входные значения рентабельности – математические ожидания этих эффективностей. Среднеквадратичное отклонение от величины математического ожидания (квадратный корень из величины дисперсии) для эффективности финансирования каждого проекта пропорционально риску, указанному для данного проекта.

Учитывая все сделанные предположения, можно поставить задачу формирования эффективных портфелей для определения очередности реализации инвестиционных проектов для рассматриваемой совокупности проектов: имеем некоторое количество проектов и период времени, который разбит на интервалы; на каждый интервал выделена одинаковая сумма финансирования такая, что за весь период покрываются все проекты. При этом необходимо определить очередность финансирования таким образом, чтобы проекты финансировались в порядке уменьшения их эффективности.

Существует два принципиально различных вида финансирования проектов. Первый характеризуется полным покрытием стоимости проектов, этот вид и будет рассмотрен в дальнейшем при решении конкретной задачи. Второй предусматривает лишь частичное финансирование проектов, т.е. реализация проектов в этом случае возможна лишь при условии существования дополнительных инвесторов.

Все выводы, сравнения, ограничения, полученные для случая формирования портфеля на выборках величин эффективности, сохраняются и на этот случай. Поэтому для численного решения задачи в такой постановке будет использоваться Алгоритм 1.