6.2. Неравенство Чебышева.

В качестве леммы, необходимой для доказательства теорем, относящихся к группе «закона больших чисел», мы докажем одно весьма общее неравенство, известное под названием

Неравенство Чебышева.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной D_x / ²: D_x / ² . (6.1)

Доказательство.

1. Пусть величина дискретная с рядом распределения

Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание m_x в виде точек на числовой оси 0X .

m_x

0 . . . . . . . . . . . . . x

x₁ x₂ x₃ A B x _n-1 x₀

Зададимся некоторым значением > 0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :

(6.2)

Для этого отложим от точки вправо и влево по отрезку длиной ; получим отрезок . Вероятность (6.2) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка попадет не внутрь отрезка , а вовне его:

.

Концы отрезка АВ мы в него не включаем.

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений , которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:

, (6.3)

где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения , для которых точки лежат вне отрезка .

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины . По определению:

(6.4)

Так как все члены суммы (6.3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения , а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка :

(6.5)

Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.

(6.6)

Но, согласно формуле (6.3) сумма, стоящая в правой части (6.6), есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка ; следовательно,

,

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае, когда величина непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей элементом вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,

где —плотность распределения величины .

Знак заменен знаком >, так как для непрерывной величины вероятность точного равенства равна нулю.

Далее, имеем:

где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка .

Заменяя под знаком интеграла через получим:

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величин.

Пример. Дана случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией . Оценить сверху вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 3 .

Решение. Полагая в неравенстве Чебышева ,

имеем:

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше 1/ 9.

Примечание. Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина выйдет за пределы участка , значительно меньше 1/9.Например, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0,003. На практике чаще всего мы имеем дело со случайными величинами, значения которых только крайне редко выходят за пределы . Если закон распределения случайной величины неиз­вестен, а известны только и . на практике обычно считают отрезок участком практически возможных значений случайной величины (так называемое вправило трех сигмам).