8.4.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты

При построении полуреплики 2^3-1- существуют две возможности приравнять х₃ к +х₁х₂ или к – х₁х₂. Поэтому есть только две полуреплики 2^3-1 (табл. 6.11).

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение , а матрицы Символическое обозначение произведения столбцов, равное +I или -I, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если , то , так как .

Таблица 8.10

Число	дробная	условное	число опытов
фактор.	реплика	обозначение	для дробной реплики	для полного фактор. эксперимента
3	½-реплика от 23	23-1	4	8
4	½-реплика от 24	24-1	8	16
5	½-реплика от 25	25-2	8	32
6	1/8-реплика от 26	26-3	8	64
7	1/16-реплика от 27	27-4	16	128
5	½-реплика от 25	25-1	16	32
6	1/4-реплика от 26	26-2	16	64
7	1/8-реплика от 27	27-3	16	128
8	1/16-реплика от 28	28-4	16	256
9	1/32-реплика от 29	29-5	16	512

Таблица 8.11

№ оп.	I матрица х3=х1х2				№ оп.	II матрица х3=-х1х2
	Х1	Х2	Х3	Х1Х2Х3		Х1	Х2	Х3	Х1Х2Х3
1 2 3 4	+ - + -	+ - - +	+ + - -	+ + + +	1 2 3 4	+ - + -	+ - - +	- - + +	- - - -

Аналогично можно определить, что х₂=х₁х₃; х₃=х₁х₂. Полученные соотношения, показывающие, с каким из эффектов смешан данный эффект, называются генерирующими соотношениями. Для рассматриваемого случая они означают, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны о двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III(по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать .

При выборе полуреплики 2^4-1 возможно восемь решений:

1.х₄=х₁х₂; 2.х₄=-х₁х₂; 3.х₄=х₂х₃; 4.х₄=-х₂х₃; 5 х₄=х₁х₃; 6.х₄=-х₁х₃;

7.х₄=х₁х₂х₃; 8.х₄=-х₁х₂х₃.

Разрешающая способность этих полуреллик различна. Так, peплики 1- 6 имеют по три фактора с определяющем контрасте, а 7- 8 по четыре. Реплики 7 – 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные.

Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, называются планами с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте) и имеют обозначения .

Пусть выбраны полуреплики, заданные определяющими контрастами I=х₁х₂х₃х₄ и I=-х₁х₂х₃х₄.Совместные оценки определяются следующими соотношениями:

х₁=х₂х₃х₄; х₁х₃=х₂х₄; х₃=-х₁х₂х₃;

х₂=х₁х₃х₄; х₁х₄=х₂х₃; х₄=-х₁х₂х₃;

х₃=х₁х₃х₄; х₁х₂=-х₃х₄;

х₄=х₁х₂х₃; х₁=-х₂х₃х₄; х₁х₃=-х₂х₄;

х₁х₂=х₃х₄; х₂=-х₁х₃х₄; х₁х₄=-х₂х₃.

Такой тип смешивания дает возможность оценивать линейные аффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка а взаимодействия первого порядка - совместно друг с другом. Если выбраны полуреплики с определяющими контрастами I=х₁х₂х₄ и I=-х₁х₂х₄, то можно получить планы с разрешающей способностью III. Некоторые основные эффекты смешиваются с парными взаимодействиями:

х₁=х₂х₄, х₂=х₁х_4.

Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов c разрешающей способностью 1У.

При выборе полуреплики 2^5-1 в распоряжении экспериментатора имеется 22 варианта. Так, х₅ можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий, например х₅=х₁х₂ или х₅=х₃х₄ и т.д. В этом случае получается полуреплика с разрешающей способностью III. Очевидно, это не лучший выбор полуреплики. Затем х₅ можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий (х₅=х₁х₃х_4, х₅=х₁х₂х_4, х₅=х₂х₃х_4, х₅=х₁х₂х₃). Тогда получим план с разрешающей способностью IV и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями. И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями х₅=х₁х₂х₃х₄ или х₅=-х₁х₂х₃х_4. Определяющими контрастами в этом случае будут I=х₁х₂х₃х₄х₅ и I=-х₁х₂х₃х₄х₅. Такие реплики называются планами с разрешающей способностью V и обозначаются .

Пусть, например, выбрана полуреплика, заданная генерирующим соотношением х₅=х₁х₂х₃х₄. Коэффициенты регрессии будут оценками следующих эффектов:

где линейные эффекты смешаны с взаимодействиями третьего порядка, а взаимодействия первого порядка - с взаимодействиями второго порядка.

Предположив незначимость тройных и четверных взаимодействий, можно сказать, что основные и парные эффекты выделены в «чистом» виде.