6.4 Теорема Бернулли.

Известная теорема Я.Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А, вероятность появления которого в каждом опыте равна р. Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном числе опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности р.

Обозначим частоту события А в n опытах через Р и запишем теорему Бернулли в виде формулы

, (6.8)

где и - сколь угодно малые положительные числа.

Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом n .

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:

Х₁ – число появлений события А в первом опыте;

Х₂ – число появлений события А во втором опыте, и т.д.

Все эти величины дискретны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида

0	1
q	p

Здесь q = 1 – p . Математическое ожидание каждой из этих величин Х_i равно р, а ее дисперсия pq (см Л3-п3.2).

Частота Р представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин Х₁, Х₂, ... , Х _n :

Р = _i / n ,

и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства (6. 1).

ЛЕКЦИЯ 7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

7.1. Понятие о стохастических и корреляционных связях

7.2. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение

7.3. Корреляционный анализ

7.4 Выбор уравнения регрессии

7.5. Понятие о множественной корреляции

7.1. Понятие о стохастических и корреляционных связях

9 февраля 1877 года сэр лорд Гальтон выступал с очередным сообщением о наследственности таланта. На заседании Королевского научного общества в Лондоне. Чопорные члены общества сонно пропускали мимо ушей длинные тирады докладчика, а в тех местах, где Гальтон начинал писать математические формулы, зал начинал недовольно гудеть. Несколько раз Гальтон употребил незнакомый термин " корреляция". Вряд ли кто из присутствующих мог тогда предполагать, что именно в этот день произошло крещение новой науки - теории корреляции. Разработка этой теории составила бессмертную славу Гальтона. Десятки великих математиков в дальнейшем вносили тот или иной вклад в развитие теории корреляции, и начало всем исследованиям положил первый бесхитростный пример Гальтона. Гальтон изучал зависимость роста сыновей от роста отцов. Им был собран значительный статистический материал, на основании которого ученый сделал вывод о том, что в среднем рост сыновей уменьшается по сравнению с ростом отцов. Он даже вычислил уравнение этой зависимости, которое назвал уравнением регрессии. Отсюда термин "регрессии" и вошел в математику.

Вывод Галътона не нашел подтверждения в исследованиях других ученых. Тем не менее, метод, им разработанный, был взят на вооружение всеми, кому приходилось и приходится обрабатывать экспериментальные данные. Наибольший вклад в дальнейшую разработку теории корреляции внес русский ученый А. А. Чупров. Своеобразно произошло признание ученого за рубежом. Обнаружив ряд ошибок и математических неточностей в трудах Гальтона и его учеников, Чупров написал письмо в порядке личной переписки, не желая подрывать авторитет всемирно известной школы. Но каково было его удивление, когда он через полгода получил свежий том журнала "Биометрика", где под названием "Согрешили" была напечатана статья с исправлениями допущенных ошибок и выражением благодарности Чупрову.

Рассмотрим теперь, что такое корреляция. На любой производственный процесс влияет много факторов, определяющих конечный результат. Наблюдая за ходом процесса можно записать, с одной стороны, параметры этого процесса, и с другой стороны, его результаты. Если какая-либо физическая величина определяется как однозначная функция одной или нескольких величин y = f ( x, z, ... , u ) , т.е. когда величина y вполне определяется значениями x, z , ... ,u , то такую связь величины y с величинами x, z , ... ,u мы называем функциональной. Например, в известном законе Ома I = U/R при постоянном R произвольному значению U будет соответствовать определенное значение I. Т.е. функциональная зависимость - такая зависимость, где каждому допустимому значению одной переменной соответствует одно и

только одно значение другой переменной. Функциональная связь обнаруживается с помощью строгих логических доказательств и не нуждается в опытной проверке. Но между случайными величинами, как правило, может существовать связь особого рода, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой - такая связь называется стохастической или, иными словами, стохастическая связь - такая связь, когда каждому значению одной переменной случайной величины соответствует несколько значений другой переменной величины. Пример неточной связи приведен в таблице: данные по переписи 1901 года населения Англии и Уэльса. В этой таблице Х – возраст жены, Y – возраст мужа.

Стохастические связи - весьма сложные связи. . Стохастическая связь - это такая связь, при которой на изменение одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменениями своего закона распределения. Наиболее простым и имеющим важное практическое значение видом стохастической связи является так называемая корреляционная связь. Корреляционная связь между двумя случайными переменными величинами выражается в том, что на изменение одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменениями своего математического ожидания или среднего значения

X Y	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85	2 16 4 1	2 113 185 41 9 3 1	46 102 265 69 17 6 2 1	4 84 411 251 71 20 8 3 1	1 10 84 369 219 66 19 8 3 1 1	2 12 80 309 178 57 18 8 3 1 1	1 2 12 66 252 146 46 16 6 2 1	1 2 12 59 193 110 39 11 5 2 1	1 2 10 44 141 81 26 8 3 1	1 2 10 35 101 53 18 5 1	1 2 6 23 58 31 10 2 1	1 4 13 31 14 4 1

В общем виде связь между двумя случайными величинами X и Y может быть выражена корреляционным уравнением или уравнением регрессии

M(y/x) = f (x)

Это уравнение имеет большое практическое значение. С его помощью можно прогнозировать значение зависимой случайной переменной, если предположить, что независимая переменная примет определенное значение.