18. Поверхні в евклідовому просторі. Криволінійні координати на поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.

Під елементарною поверхнею розуміють множину точок простору (фігуру), гомеоморфну відкритій плоскій області.

Проста поверхня - це фігура, в околі кожної точки якої вона є елементар. поверхнею.

Загальна поверхня - це фігура, яка одерж. локально-топологічним перетвор. простої поверхні.

Основою вивчення поверхні є елементарна поверхня.

Якщо в площині D ввести афінні координати и, v, а в просторі Ез – прямо кут. с-му коор. , то радіус-вектор є векторною ф-єю 2х змінних u, v.

Р-ня (1) наз. векторним р-ням поверхні.

Числа u і v повністю характериз. положення т.M на поверхні і наз. внутрішніми, криволінійними або гаусовими координатами на поверхні.

Перейшов. до коор. в базисі вектор. р-ні (1), одержимо параметрич. р-ня поверхні (2)

Поверхня наз. регулярною класу С^k (k≥1), якщо вона допус. регулярну параметриз., тобто задання р-нями (2) в параметрич. формі, де x(u,v), y(u,v), z(u,v) - k раз неперервні диферент. ф-ії, що задовол. умові

У випад. вектор. задания поверхні ця умова означ., що не колінеарний . При k=1 поверхня наз. гладкою.

Рівняння виду: наз. явним р-ням поверхні.

Очевидно, що від р-ня (3) легко перейти до параметрич., поклавши x=u,y=v або

В остан. р-ні роль кринолін. координат u , v відіграють х, у. У вектор. формі це р-ня приймає вигляд (3)

Всі точки поверхні, задан. р-ням (3), звичайні, адже , тобто не колінеарний

Неявне р-ня поверхні має вигляд F(x, y, z) = 0, (4), де функція F належить класу C^k (k≥1).

P-ня u-лінії має вигляд ,а v-ліиії- . Тоді - є вектор, дотичн. до координатної u-лінії, а – дотичн. до v-лінії, при цьому не колінеарний

Будь-яку криву на поверхні можна задати в криволін. с-мі коор. u, v за допом. параметрич. р-нь (*)

Векторне р-ня такої кривої матиме вигляд . Нехай M(u,v) - точка поверхні, а (*) - будь-яка крива, що проход. ч/з цю точку. Напрям дотичної до цієї кривої визнач. вектором . Для різних кривих, що проход. ч/з т.М, ф-ії і будуть різні, а і , - ті ж самі. Вектори є лінійн. комбінац. векторів і , а значить усі леж. в одній площині, щю визнач. т.M та векторами і . Ця площина наз. дотичною площиною поверхні в т.М.

Р-нями дотич. площини, що відповід. річним способам задання поверхні відпов. будуть:

Нормаллю до поверхні в т.M наз. пряма, що проход. ч/з цю точку перпендик. до дотичної площини. Очевидно, що вектор буде напрямним вектором нормалі та нормальним вектором дотичної площини.

Якщо поверхня задана неявним р-ням F(x,y,z) = 0, то

Нормалі задаються такими рівняннями:

19. Перша та друга квадратичні форми поверхні та їх застосування.

Нехай регулярна поверхня задана р-ням (*), а деяка регулярна лінія на цій поверхні. Тоді векторним р-ням цієї лінії буде . При цьому , де . Для кривої - де ds - диференціал довжини дуги кривої. Підставивши в останню рівність знач. , маємо

(1)

де

Квадратич.форма І наз. першою квадратич. формою поверхні або лінійним елементом поверхні Вона = квадрату диференціала дуги будь-якої кривої, яка проходить через задану т.M(u,v), напрям якої визнач. диференціалами du, dv.

Перша квадратична форма завжди додатньовизначена.

Якщо поверхня задана явним рівнянням z=z(x,y), то, вибравши в ролі кринолін. коор. змінні х,у, легко перейти до параметрич.р-нь х=х, у=у, z=z(x,y). Тоді

, а

(2)

Застосування.

1. Довж. дуги плоскої лінії (**), розташов. на поверхні (*), обчисл. за ф-ою

.

Для знаходження довж. кривої на поверхні досить знайти її першу квадратич. форму. У зв'язку з цим кажуть, що І квадратич. форма поверхні задає її метрику.

2. Кут між двома кривими. Нехай на поверхні задані 2 криві γ₁ і γ₂, які перетин. в т.М. Нехай дотичні до них визнач. векторами

Кут θ між кривими - це кут між напрямними векторами du і їх дотич., отже

(4)

Звідки . Для u-лінії du≠0, dv=0. Для v-лінії =0. ≠0. Тоді кут θ між 2ма координат. лініями обчисл. за ф-ою

(5) Звідки координатна сітка (u, v) на поверхні ортогональна ↔коли F=0.

3. Площа σ замкненої обл. D поверхні обчисл. так

(6)

Якщо поверхня задана явним р-ням z=z(x,y), то . Тоді

Сукупність властив. поверхні, які можна вираз. ч/з коефіц. її першої квадрат. форми наз. внутріш. геомет. поверхні.

Деформація поверхні, при якій вона не розтяг., не стиск., не розрив. і не склеюєт., наз. зганянням поверхні Оскільки при такій деформації зберіг. довжини всіх дуг на поверхні, отже, і диференціали цих дуг, то зберігатиметься і перша квадрат. форма. Тобто при згинанні поверхні зберіг. її внутр. геом., хоч просторова форма змін. Таким чином, перша квадрат. форма поверхні визнач. її з точністю до згинання.

Для однознач. визнач. поверхні як жорсткого тіла, тобто визнач. її з точністю до руху, потрібно задати для неї ще і так звану другу квадратичну форму

, де

а - одиничний вектор нормалі до поверхні.

Якщо поверхня задана в явному вигл. z=z(x,y), то ,

Кривина похилого перерізу: де θ – кут між вектором і площиною похилого перерізу поверхні.

Якщо в ролі кривої на поверхні вибрати переріз площиною, перпендик. до дотичної площини (так званий нормальний переріз), то , а значить кривина нормального перерізу поверхні , (3)

тобто на відміну від k нормальна кривина ки може бути і від'ємною, а саме