Гіпербола.

Гіперболою наз. множина всіх точок площини координати яких, в деякій прямокутній с-мі коор., задовольняють р-ня: (15)

З р-ня гіперболи маємо:

Отже, між прямими x = a і x = – a немає точок гіперболи.

Так як в р-ня гіперболи входять тільки змінні парної степені, то гіпербола симетрична відносно осей OX, OY і початку с-ми коор. Ясно, що інших осей симетрії гіпербола не має, так як будь-яка вісь її симетрії проходить через т.О, а значить являється і віссю симетрії кола x²+y²=a² , яке має з гіперболою дві спільні точки А₁(а,0) та А₂(-а,0); тому будь-яка вісь симетрії переводить А₁ в А₂ і навпаки, або залишає їх нерухомими. А це лише прямі OX і OY.

При побудові гіперболи досить побудувати її у першій координатній четверті, а в інших – по симетрії.

З р-ня гіперболи маємо:  , або . Графік цієї функції необмежений і при х  , наближається у першій четверті до прямої  , яку наз. асимптотою гіперболи.

Таким чином, гіперболу можна побуд. за допомогою прямокутника із сторонами 2a і 2b, його діагоналі будуть асимптотами (рис.12).

Основні елементи гіперболи, які не залежать від орієнтації системи координат:

1. а – дійсна піввісь; 2а – дійсна вісь.

2. b – уявна піввісь; 2b – уявна вісь.

3. 2c – фокальна відстань (c²=a²+b²).

4.   =  >1 – ексцентриситет.

5. Точки А₁(а,0) та А₂(-а,0)– вершини гіперболи.

6. Точка О(0,0) – центр гіперболи.

7. Точки F₁(c,0) і F₂(-c,0) – фокуси гіперболи.

8. Прямі d₁ і d₂ : – директриси гіперболи.

9. Прямі – асимптоти гіперболи

Відрізки, які сполучають довільну точку гіперболи з фокусами, наз. фокальними радіусами. Як і для еліпса знайдемо:  MF₁ =x – a,  MF₂ =x + a Але так як для гіперболи x>x>a то , і Звідси випливає, що

 MF₁ – MF₂ = або  MF₁ – MF₂=2a .

Одержали геометрич. озна.: гіперболою наз. множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від яких, до двох даних точок F₁ і F₂ (фокусів) є величина постійна (рівна 2а).

Відмітимо, що у випадку a=b гіпербола наз. рівносторонньою.

Теор9. Якщо за вісі прямокутної с-ми коор. взяти асимптоти рівносторонньої гіперболи, то в цій с-мі коор. гіпербола являє собою графік оберненої пропорційності .

Якщо , то ми отримаємо гіперболу, яка наз. спряженою з . Вона має ті ж асимптоти, але її фокуси лежать на вісі OY (рис.12).

Парабола.

Параболою наз. множина всіх точок площини, координати яких, в деякій прямокутній с-мі коор. задовольняють р-ня: (16)

Так як у р-ні параболи в парній степені лише ордината, то парабола симетрична тільки відносно вісі OX і розміщена в першій і четвертій чвертях, якщо р>0 (рис.13) і другій та третій, якщо р<0. Вісь симетрії параболи наз. віссю параболи.

Парабола проходить через т.О(0,0), яка наз. вершиною параболи. Інших точок перетину з осями координат парабола не має, тому вісь OX – єдина вісь симетрії параболи.

Нехай р>0, тоді якщо x то і y  (рис.13).

В ідмітимо основні елементи параболи, які не залежать від орієнтації системи координат:

1. число р – фокальний параметр.

2. число – фокальна відстань.

3. точка F( ,0) – фокус.

4. пряма d: – директриса.

Теор10. Парабола – це множина тих і тільки тих точок площини, які рівновіддалені від фокуса і директриси.

Доведення. Нехай точка M(x,y) рівновіддалена від F і d. Умова рівновіддаленості: . = x+ . отже, , або .Звідки . Отже, якщо точка рівновіддалена від фокуса і директриси, то вона належить параболі (рис.13).

Навпаки, нехай т.М належить параболі, яка має р-ня .

Знайдемо відстань від т.М до фокуса:

. Оскільки точка М належить параболі, то її координати задовольняють рівняння параболи отже, , тому а це і є відстань від точки М до директриси.