20. Топологічні простори та їх основні властивості. Приклади. Предмет топології.

Загал. поняття топологіч. п-ру легко вивести узагальн. поняття метрич. п-ру.

Озн. Нехай є х-елемент природи і в цій множ. виділена с-ма підмножин Т, які задов. наступ. аксіомам топологіч. п-ру:

1. Ø і мн. Х належ. Мн. Під множ. Ø, хєТ

2. _{сімейства із ТєТ}

3. _{скінч. сімейства мн. із ТєТ}

(х,Т) – топологіч. пр-ір на мн.Х визнач. топологіч. ст-ра або топологія. Елементи мн.Х – точки, а елементи із Т – відкриті множини тополог. пр-ру Хю Якщо топологія Т вибрана на мн.Х – тополог. пр-ір Х.

Приклади

1. метрич. пр-ір (Е,ρ) –топологіч., його топологія Т задаватиметься за допом. відкрит. мн. В цьому випад. кажуть, що топологія цього п-ру індукована метрикою ρ.

2. Геом.. мн. Як підмножини Rⁿ, разом з кожною своєю точкою буде містити і деякий відкритий координат. паралелепіпед і всі ті мн. в яких F є відкритими, а на мн. Rⁿ. Таким способом вираж. деяка топологія, яку наз. природною топологією. Вся топологія Rⁿ перетвор. в топологіч. пр-ір, так званий числовий, якщо n=1, R¹ знаход. на прямій.

Приклади числового пр-ру я топол. є: числова пряма n=1; координатна площина n=2 і т.д.

3. Нехай задана довільна мн. Х, розг. мн. Т, яка склад. З 2-х Т₁={ Ø,x} задов. аксіомам 1-3 тополог. пр-ру. Т₁ – топологіч. Визнач. На мн. Х – анти дискретна топологія, а пара (х, Т₁) – анти дискретний топологіч. пр-ір

4. Дискретний тополог. Пр- ір. Нехай х – мн., Т₂ – с-ма всіх підмножин мн.х

Т₂ = (х, Т₂)

5. Нехай мн.х в ній 2 точки х={a,b}. Побуд. всі топологыъ Т на мн. Х.

Т₁ = {Ø, {a,b}}.

Т₂ ={Ø, {a,b}, {a},{b}}

Т₃ = Т₃ А

Озн. Околом точки в топологічному просторі наз. будь-яка відкрита множина, що містить в собі цю точку.

Множина F наз. відкритою , якщо вона разом з кожною своєю точкою містить і деякий відкритий координатний паралелепіпед, що містить цю точку. Пуста множина – відкрита. Топологічний простір (Х, Т) наз. метризованим, якщо його топологією Т можна задати за допомог. деякої метрики, тобто , що індукує топологію Т.

Нехай є топологічний простір (Х, Т). Система відкритих підмножин ВТ називається базою топології Т, коли будь-яку відкриту множину можна задати у вигляді об'єднання певної сукупності мн. Вα В , Т = Вα.

Топологічний простір (Х, Т) наз. простором зі зліченною базою, якщо топологія Т має хоч одну базу, яка складається із зліченного сімейства відкритих підмножин з Х.

Множина V топологічного простору (Х, Т) наз. замкненою , коли Х/V – відкрита множина. Нехай В –база (Х, Т). Будь-яка база В має такі властивості: 1) хЄХ хЄВα , де ВαЄВ; 2) Якщо ХЄВ₁ В₂ В В₃ЄВ: хЄВ₃⊂В.

21.Ейлерова характеристика поверхні.Орієнтовні та неорієнтовні двовимірні многовиди. Рід многовида та число його контурів

Назвемо клітиною будь-який многовид з краєм, яке гомеоморфне випуклому многокут.Нехай К- клітинний розклад двовимір.о многовиду F. Точка наз. вершиною клітинного розкладу К, якщо х – вершина хоча б однієї клітини із К. Фігура наз. стороною розкладу К, якщо вона є стороною хоча б однієї клітини з К. Введемо познач. - число вершин, - число сторін, - число клітин розкладання К.

Число наз. ейлеровою характеристикою поверхні F.

Приклад. Якщо F- поверхня тетраедра, а клітинний розклад склад. із його граней, то =4, =6, =4 , тому =2.

Н ехай Ф-двовимір. компактний многовид і К – будь-яке його розкладання. Розг. будь-яку клітину ABCD(рис). Назвемо клітину орієнтованою, якщо приймається до уваги той порядок, в якому вказано його кінці. Перший з вказаних кінців – початок, а другий – кінець орієнтованої сторони. При цьому кажуть, що AB і BA протилежно орієнтовані. Якщо одна з клітин ABCD, наприк. AB орієнтована, то можна ввести узгоджену орієтнацію всієї границі клітини як на рис. Кажуть, що клітина орієнтована, якщо орієнтована її границя описана способом вище.

Якщо в деякому клітинному розкладі К многовиду Ф клітини можна орієтувати так, що кожні дві клітини, які мають спільну сторону будуть однаково направленні, то многовид Ф наз орієтовним. Якщо такого клітинного розкладу не має, то многовид наз. неорієнтовним.

Покажемо, що орієнтовність многовиду є його топологічним інваріантом. Нехай Ф –орієнтований многовид, Ф’-гомеоморфний йому многовид. Ф’=f(Ф), де f – гомеоморфізм. На многовид Ф існує клітинний розклад К, клітини якого можна орієтувати так, як це вказано у означенні орієтнованого многовида. Гомеорфізм f переводить клітинний розклад многовида Ф у певний клітинний розклад K’ многовида Ф'. При цьому орієнтація кожної клітини із К переход. на відповідну клітину K’. Тоді, кожні дві клітини із K’, які мають спільну сторону, будуть однаково орієнтовані. Таким чином, властив. многовида бути орієнтованим зберігається при гомеорфізмах.

Нехай К – будь-який розклад многовиду Ф. Візьмемо одну клітину цього розкладу і орієнтуємо її способом. Потім беремо клітину, яка має із клітиною Ф1 спільну сторону, і орієнтуємо цю клітину так, щоб спільна сторона отримала орієнтацію, протилеж. тій, яку ця сторона отримала в орієтації клітини Ф1. Потім берему іншу клітину і тд.У кінці ми прийдемо до одного з двох випад.:

а) кожні дві клітин, які мають спільну сторону, будуть однаково орієнтовні, а отже, многовид орієнтований.

б) знайдуться дві клітини, протилежно орієнтовані. Тоді многовид неорієнтовний.

Візьмемо многовид - сферу з 2p+r дирками і p пар цих дірок заклєємо ручками, а r дірок залишемо. p,r- невідємні числа.

Теорема1. Будь-який орієнтований компактний многовид гомеоморфний деякому многовиду ; будь-який орієнтований компактний двовимірний многовид з краєм гомеоморфний деякому мнговиду

Чмсло p наз родом даного многовиду, а r – числом контурів цього многовиду. Справедлива формула

Має місце критерій гомеоморфності 2х орієнтовний компактних многовидыв:

Теорема2 2 орієнтованих компактних многовида гомеоморфні ↔ коли вони мають один і той самий рід. Два орієнтованих компактних многовида з краєм гомеоморф. ↔ коли вони мають один і той самий рід і одне і теж число контурів