10. Рух 1 і 2 роду. Класифікація рухів площини та їх аналітичне задання. Групи рухів та їх підгрупи.

Зупинимося на властивостях руху.

1. Рух переводить пряму у пряму, причому || прямі в || прямі.

2. Рух зберігає просте відношення трьох точок.

3. Рух зберігає поняття „лежати між”.

4.Рух переводить півплощину з границею l в півплощину з границею , де  – образ прямої l.

5. Рух переводить промінь в промінь.

6. Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).

Перетворення площини зберіг. орієнтацію площини, якщо репер R і його образ однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо R і протилежно орієнтовані.

Коли рух орієнтація площини не змінює, то він наз. власним (рухом 1-го роду), якщо змінює – невласним (рухом 2-го роду).

Отримаємо аналітичне задання руху.

Нехай g – даний рух. Розглянемо на площині ортонормов. репер R= . Познач. (х, у) координати довільної т.М в цьому репері, а через ( ) координати її образа при рухові g в цьому ж репері R .

Одерж. аналіт. задання руху значить вираз. коор. т. в репері R ч/з х, у.

Так як рух g задано, то за теор2 ортонормов репер R= перейде в ортонормов. репер . , причому .

Отже, фактично одержуємо звичайну задачу перетвор. прямокут. с-ем коор.: т. в старому репері R має координати , а в новому репері  – х, у. Потрібно виразити через х, у.

Такі формули мають вигляд:

де , якщо репери R і однаково орієнтовані, тобто при рухах першого роду, і , при рухах другого роду.

Класифікацію рухів площини провед. в залеж. від наявності інваріантних точок і прямих, і одержимо аналітичне задання конкретних рухів.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні. Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .

Власні рухи:

а) тотожне перетворення. При такому перетвор. повороту немає, отже і перенес. немає, тому . Підстав. ці знач. в ф-лу (1) отрим. :

. Тобто інваріантними залишаються всі точки і всі прямі площини.

б) поворот на . Нехай центром обертання є т.О(0,0). Тоді , і маємо аналітичне задання :

Інваріантною є єдина точка – точка навколо якої викон. обертання. Інваріантних прямих немає.

в) центральна симетрія. Тут . Нехай центром симетрії є т.О(0,0), тоді . Отрим. з ф-ул (1) аналіт. задання такої симетрії:

Інваріантна точка – центр симетрії. Інваріантні прямі – прямі, що проходять через центр симетрії.

г) паралельне перенесення. Маємо Аналітичне задання:

Інваріантних точок немає, інваріантні прямі – прямі, що паралельні до .

Невласні рухи:

а) осьова симетрія. Повороту немає, тому . Якщо , то отримаємо осьову симетрію відносно осі ОХ:

Інваріантні точки – всі точки вісі симетрії. Інваріантні прямі – сама вісь симетрії і всі прямі, які перпендикулярні до неї.

б) ковзна симетрія (симетрія відносно прямої, а потім перенесення на паралельний до цієї прямої).

Тут , і якщо розг. осьову симетрію відносно вісі ОХ, то отримаємо :

Інваріантні точки – точки вісі симетрії, інваріантна пряма – вісь симетрії.

Нам відомо, що всі перетворення площини утворюють групу . Позначимо D – множину всіх рухів площини. Так як рухи площини – це перетворення площини, то для того, щоб вони утворювали групу, згідно теор1, досить перевірити дві умови: замкненість і існув обернено елемента на множині рухів.

Перевіримо замкненість: Операція тут – композиція рухів. Потрібно показати, що композиція будь-яких двох рухів є рух.

Розг дві точки А і В площини. Нехай рух g відображає їх в точки і . Тоді за означенням руху . Нехай рух f відображає точки і в точки і відповідно, тоді . Отже, . Таким чином послідовне виконання двох рухів g і f, тобто їх композиція – теж рух, так як зберігає відстань між точками.

Очевидно, що для будь-якого руху існує обернений рух . Тому всі рухи площини утвор. групу D, яка є підгрупою групи .

Розг. множину всіх власних рухів площини. Очевидно, що композиція двох власних рухів є власним рухом (орієнтація площини не змінюється) і для будь-якого власного руху g існує обернений (так як для всіх рухів площини існують обернені), отже, множина утвор. групу, яка є підгрупою групи D.

Невласні рухи не утвор. групу, так як не викон. перша умова (замкненість). Дійсно, послідов. викон.двох невласних рухів буде власним рухом.

Нехай Т – множина всіх || переносів площини. Тоді Т – підмножина групи власних рухів . Так як композиція двох || переносів є п|| перенос і для будь-якого переносу на вектор існує обернений то Т – група переносів площини.

Отже, всі || перенесення утвор. групу Т – підгрупу груп D і . Неважко перевірити, що і всі повороти навколо фіксованої т. утвор. групу, підгрупу і D. Всі ці групи нескінченні, так як мають нескінчен. число елементів.

Існують і скінченні підгрупи групи рухів.

Розглянемо – множину всіх рухів площини, які переводять фігуру F в себе.

1. Очевид., що якщо рух f відображу. фігуру F в себе і рух g відображу. F в себе, то і послідовне викон. рухів f і g (f*g) відображу. фігуру F в себе, тому операція замкнена (1-ша умова).

2. Ясно також, що для будь-якого руху, що відображу. фігуру F в себе, існує обернений елемент (рух назад) який відображу. F в себе (2-га умова).

Отже, – група.

Якщо містить елементи відмінні від тотожн. перетвор., то вона наз.групою симетрії фігури F, а її елементи – симетріями цієї фігури.

Якщо F – коло або смуга, то – нескінченна. Якщо ж F – рівнобед. трикутник, то склад. з 2-х елементів. Якщо F – рівносторон. трикутник, то склад. з 4-х елементів, F – квадрат , то містить 5 елементів.

Можна розг. і групу поворотів правильного n–кутника. Її елементи – повороти многокутнока навколо його центра О, які відображ. многокутник в себе. Ця група склад.з степенів одного з своїх елементів (циклічна).