5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Функция  называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:  . Если  , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого:

Если  , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена    , а именно:

Каждому действительному корню  кратности 1 в разложении соответствует член    .

Каждому действительному корню   кратности   в разложении соответствует набор из   членов      .

Каждой паре комплексно сопряженных корней    кратности 1 в разложении соответствует член     (  - корни уравнения  ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности   в разложении соответствует набор из   членов        .

В приведенных выражениях  - неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю  , приравнивая полученные коэффициенты при степенях    к соответствующим коэффициентам   и решая систему относительно   .

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно.

6. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Решая задачи на вычисление площади криволинейной трапеции, нетрудно убедиться, что площадь полностью определяется функцией у = f(х) и концами промежутка а и Ь. Действительно, всякая первообразная Ф (х) для функции

f (х) отличается от любой другой ее первообразной F (х) на постоянную, поэтому Ф (х) = F (х) + С, т. е.

Таким образом, любые две первообразные для функции f (х) име­ют на отрезке [а; Ь] одно и то же приращение.

Приращение первообразной для функции f (х) на отрезке [а; Ь] будем называть определенным интегралом от функции

F (х) на отрезке [а; b] и обозначать   .

По определению   = F (Ь) — F (а), где F’ (х) = f (х).

 

Если понятие неопределенного интеграла не вводилось, то можно не употреблять термин «определенный интеграл», а говорить просто «интеграл».

7.  Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла   при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается  .  Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.  Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:   сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл   (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности  , и   от b не зависит, то конечный предел при   для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).  Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом   будем обозначать  ; символом   - соответственно,  ; тогда можно записать  ,  ,  , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов.

Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении (  или  ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.  Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при   удовлетворяют неравенствам  . Тогда:  если сходится интеграл  , то сходится интеграл  ;  если расходится интеграл  , то расходится интеграл    (эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).  Док-во: если  ,  , то функции   и   - монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть   сходится. G(b) ограничена   , F(b) ограничена, т.е.   сходится. Пусть   расходится   F(b) неограничена   G(b) неограничена, т.е.   расходится.  Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный  . Тогда несобственные интегралы   и   сходятся или расходятся одновременно.  Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для   существует такое значение x₀, что при x > x₀ выполняется  . Дальше рассуждения простые: пусть a₁ = min{a, x₀}; если сходится  , то сходится  , тогда, по теореме сравнения, сходится     сходится   сходится. Если расходится  , то расходится  , тогда, по теореме сравнения, расходится     расходится   расходится. Случаи, когда сходится или расходится  , рассмотреть самостоятельно.  Сравнение интеграла   со "стандартным" интегралом   в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при   неотрицательная функция f(x) - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с  , то   сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f(x) к исследованию интеграла от положительной функции | f(x)|? Можно показать, что если сходится интеграл  , то обязательно сходится интеграл   (идея доказательства: разобьем отрезок X_b = [a, b] на два множества,   и  , т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда  ,  . В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при  . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла   интеграл   может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.

Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл  , то интеграл   называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл  , а интеграл   расходится, то интеграл   называется сходящимся условно. 

Приведённые примеры показывают, что переход от   к   и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется. 

признак сходимости Абеля:  1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке  , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл   сходится (условно или абсолютно);  2. g(x) монотонна и ограничена:  .  Тогда интеграл   сходится.  признак сходимости Дирихле:  1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;  2. g(x) монотонно стремится к нулю при  :  .  Тогда интеграл   сходится.  Применим, например, признак Дирихле к  . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

 

12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода).

Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.  Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку  , и имеет бесконечный предел при  . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел  . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. . Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то , и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела  . Будем писать просто  , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится.  В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.

Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку  , и имеет бесконечный предел при  . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел  . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка:  , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется . Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.

Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c₁, c₂, c₃ отрезка [a, b] (a < c₁ < c₂ < c₃ < b) и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как    . Здесь d₁, d₂, d₃ - произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c₁ < d₁ < c₂ < d₂ < c₃ < d₃ < b.  Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования. 

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку   и при x > a удовлетворяют неравенствам  . Тогда:  если сходится интеграл  , то сходится интеграл  ;  если расходится интеграл  , то расходится интеграл    В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа  . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если  : 

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку   и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы   и   сходятся или расходятся одновременно.  Сравнение интеграла   со "стандартным" интегралом   в предельной форме даёт правило: если при   неотрицательная функция f(x) - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с  , то   сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится.

12.2.3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( 12.1.4) , а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций   называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл  , и условно сходящимся, если интеграл   сходится, а интеграл   расходится (если сходится  , то   тоже обязательно сходится).

Признак Дирихле. Интеграл   сходится, если:  1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b];  2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём .

Признак Абеля. Интеграл   сходится, если:  1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл   сходится;  2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел: .

8. Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида

где   — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда  , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят осистеме дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной  , штрих означает дифференцирование по  . Число   (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Независимая переменная   часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой  . Переменная   — некоторая величина (или совокупность величин, если   является вектор-функцией), изменяющихся со временем. Например,  может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная   обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная   комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида

в которых старшая производная   выражается в виде функции от переменных     и производных   порядков меньше   Такие дифференциальные уравнения называютсянормальными или разрешёнными относительно производной.

В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявнымидифференциальными уравнениями.

Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется   раз дифференцируемая функция  , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие

где   — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а   и   — соответственно, фиксированные значения функции   и всех её производных до порядка   включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:

При достаточно общих ограничениях на функцию  , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнение имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени  , содержащем начальное значение   (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.