Степенные ряды

Функциональный ряд вида   (где x₀ и   - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке x = x₀ всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость  . С помощью замены t = x − x₀ данный степенной ряд можно привести к виду   - сходится при t = 0.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Степенные ряды

Пусть  .

В силу сказанного ранее, f - бесконечно дифференцируема, все производные записываются степенными рядами с тем же радиусом сходимости:

   из промежутка сходимости.

Подставим  :

Пусть в   задана  , в точке   существуют производные любого порядка.

Определение:

- ряд Тейлора функции по степеням  .

Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого  .

 ряд получается из формулы при  . Если   при  , то можно перейти к пределу.

, что является разложением функции в степенной ряд в точке  .

Если при всех x из некоторой окрестности точки   функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора.

Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка  .

Приведем пример неразложимой в ряд Тейлора функции:

Можно убедиться, что все   ряд Тейлора по  , хотя функция таковой не является.

Причина объясняется в поле  .

14. Знакочередующийся ряд

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:  (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине) . Тогда этот ряд сходится.

Замечания: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность   существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

13. Числовой ряд.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность  и формально составим сумму ее членов     Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности  называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда  . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

Сходимость числового ряда. Ряд     называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности      частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают    ,  . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность   называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда     . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то   (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться.

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности     , то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

Признаки сравнения         Если  , и ряд   сходится, то сходится и ряд  .         Если  , и ряд   расходится, то расходится и ряд  . Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:         Если заданы ряды   и существует  , то ряды   сходятся либо расходятся одновременно. Признак Д’Аламбера Если существует   то:          при   ряд   сходится;         при   ряд   расходится. Радикальный признак Коши Если существует   то:          при   ряд   сходится;         при   ряд   расходится. Интегральный признак Коши Пусть задан ряд  , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке  . Тогда ряд   сходится, если сходится несобственный интеграл  . Если же   расходится, то ряд   также будет расходящимся.