Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.
Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка
Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:
y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). (10.1)
Если в рассматриваемом интервале изменения x функция f (x) тождественно равна нулю, то уравнение (10.1) принимает вид
y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = 0. (10.2)
и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) приводится к интегрированию однородного уравнения.
Основное предположение
Будем
предполагать, что функции p1,
…, pn, f (x)
непрерывны в интервале (a, b).
Это предположение обеспечит существование
и единственность решения задачи Коши
с любыми y0, 
,
…, 
при
любом x ∈
(a, b).
В частности, единственным решением
однородного уравнения (10.2) с
нулевыми начальными условиями y0 (x0)
= 0,
(x0)
= 0, …,
(x0)
= 0 — будет только очевидное нулевое
решение y = 0.
Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка
Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (10.1) через L(y):
L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y. (10.3)
Таким
образом, L(y)
есть результат выполнения над
функцией y операций,
указанных в правой части формулы (10.3),
а именно: вычисление производных от
функции y вплоть
до порядка т включительно,
умножение y0,
,
…,
, 
на
заданные функции p1,
…, pn,
1 и сложение полученных произведений.
Совокупность этих операций обозначим
символом L:
L ≡ 
+ p1 (x) 
+ pn –
1 (x) 
+ pn (x)
и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид
L ≡ 
+ p1 (x)
+ p2 (x).
Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):
1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
L(ky)=kL(y);
2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций
L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2).
Из этих основных свойств оператора L следует, что
L
Ck yk
=
Ck L(yk).
т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.
Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (10.1) и (10.2) соответственно в виде
L(y) = f (x) (10.4)
и
L(y) = 0. (10.5)
Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) или (10.5) в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f(x) или нулю при всех x из (a, b):
L(y(x)) ≡ f (x) (a < x < b)
или
L(y(x)) ≡ 0 (a < x < b).
Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение n-го порядка для одной неизвестной функции z независимого переменного t с постоянными коэффициентами имеет вид:
где a1,,an - постоянные числа (действительные или комплексные). К уравнению (2.1), очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось. (См. соответствующую формулировку в первом параграфе первой главы). Решения уравнения (2.1) будут построены в явном виде и тем самым установлена еще раз теорема существования. Теорема единственности будет использоваться по существу для доказательства того, что найдены все решения данного уравнения. Прежде, чем приступить к решению уравнения (2.1) условимся о некоторых обозначениях и понятиях. Производную по времени от произвольной функции z = z(t) удобно обозначать через pz = p(z), трактуя символ p как линейную операцию над функцией z:
Тогда
натуральная степень k операции p,
обозначаемая через pk,
естественно понимается как
Ясно, что степень pk операции p подчиняется формальным алгебраическим правилам
Естественным представляется определение операции cpk, где c - число и суммы pk + pm:
С другой стороны само выражение (2.6) представляет собой выражение относительно символа p с постоянными (действительными или комплексными) коэффициентами, для которого справедливы обычные алгебраические правила оперирования, т.е. если L(p) иM(p) - два произвольных многочлена относительно символа p (или, как говорят, оператора дифференцирования p), то
Предложение 2.1.1 Если L(p) -многочлен относительно оператора дифференцирования вида (2.6), то справедлива следующая формула
Здесь - произвольное действительное или комплексное число;
Доказательство. Мы имеем
Отсюда
следует, что Из формулы (2.8) следует, что функция et является решением уравнения (2.1), т.е.
тогда и только тогда, когда число есть корень многочлена L(), т.е.
Многочлен L() называется характеристическим многочленом уравнения (2.1), а уравнение (2.9) - характеристическим уравнением. Совокупность всех решений уравнений (2.1) описывается несколько по разному в зависимости от того имеет ли кратные корни характеристическое уравнение (2.9), либо корни простые. Рассмотрим отдельно эти случаи. I. Случай простых корней характеристического уравнения. Теорема 2.1.1 Предположим, что характеристический многочлен L() уравнения
имеет только простые корни, которые обозначим через
Положим
Тогда
при любых комплексных постоянных
является решением уравнения (2.10). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.10) может быть получено по формуле (2.12) при надлежащем выборе постоянных . Доказательство. Из предложения 2.1.1 (см. формулу (2.8)) следует, что каждая функция в (2.11) является решением уравнения (2.10), а из равенства
(где 1,,k -
произвольные достаточно гладкие
функции; 1,,k -
произвольные константы) следует, что
при любых комплексных
постоянных
функция (2.12) также
является решением рассматриваемого
уравнения. Покажем, что если
Покажем теперь, что константы в (2.12) могут быть выбраны такими, что решение z(t), определяемое формулой (2.12), удовлетворяет тем же самым начальным условиям:
Другими словами следует выбрать константы так, чтобы выполнялись следующие равенства:
Теорема 2.1.2 Пусть
- линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Пусть 1,,m - совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена L(p) уравнения (2.33), причем кратность корня j равна kj, так что k1 + k2 ++ km = n. Положим
Тогда все функции (2.34) являются решениями уравнения (2.33) и поэтому при любых комплексных постоянных C1,,Cn функция
также является решением этого уравнения. Решение вида (2.35) является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.33) может быть получено по формуле (2.35) при надлежащем выборе констант C1,,Cn. При этом константы C1,,Cnоднозначно определяются для каждого данного решения z. Доказательство теоремы 2.1.2. Из предложения 2.1.4 немедленно следует, что функции в (2.34) являются решениями уравнения (2.33). Докажем теперь, что выбирая подходящим образом константы C1,,Cn, мы можем по формуле (2.35) получить произвольное решение z*(t) уравнения (2.33). Итак, пусть z* = z*(t) - произвольное решение уравнения (2.33), определенное на некотором интервале r1 < t < r2 и пусть t0 - некоторое число из этого интервала. Положим:
Теперь будем искать такие константы C1,,Cn, чтобы решение вида (2.35) удовлетворяло тем же начальным условиям, что и заданное решение z*(t). Тогда будем иметь z = z* в силу теоремы единственности. Для определения констант C1,,Cn мы получаем алгебраическую систему уравнений
Равенства (2.40) для номеров j = 1,,k1, в силу второй части предложения 2.1.4, дают, что число 1 является корнем многочлена M(p) кратности, не менее, чем k1. Точно также для j = k1 + 1,,k1 + k2 равенства (2.40) дают, что 2 есть, по меньшей мере, k2-кратный корень многочлена M(p). Совокупность всех равенств (2.40) приводит нас к выводу, что (с учетом кратности) многочлен M(p) имеет не менее n корней, а это невозможно, так как степень многочлена M(p) не выше, чем n1. Таким образом, предложение о равенстве нулю детерминанта матрицы (2.38) привело нас к противоречию и, следовательно, однозначная разрешимость системы (2.37)установлена. Теорема полностью доказана. Следствие 2.1.1 . Каждое решение z(t) уравнения (2.33) может быть представлено в виде:
где fj(t), j = 1,,m - многочлен степени не выше kj1. Многочлены fj(t) определены однозначно решением z(t), так как их коэффициенты выражаются через константы интегрирования C1,,Cm, которые в силу теоремы 2.1.2 определяются решением z(t) однозначно. Выделение действительных решений.
Предположим,
что коэффициенты уравнения (2.33) действительны.
Пусть (p)
- некоторый корень характеристического
многочленаL(p)
кратности k;
тогда функции tret при r =
0,,k1
являются решениями уравнения (2.33).
Если корень действительный,
то и функции tret действительны.
Если корень -
комплексный, то наряду с
решением tret имеется
комплексно-сопряженное ему решение |
и
представляет собой производную k-го
порядка от функции z:
и
поэтому справедлива формула (2.8).
функция
-
произвольное решение уравнения (2.10),
то оно может быть представлено по
формуле (2.12).
Мы можем считать, что решение z*(t)
определено на всей прямой < t < .
Положим
,
так как число также
является корнем многочлена L(p)
кратности k.
Итак, в системе решений (2.34) наряду
с каждым комплексным решением имеется
сопряженное с ним решение. Для того,
чтобы решение (2.35) было
действительным, необходимо и достаточно,
чтобы коэффициенты при действительных
решениях были действительными, а
коэффициенты у попарно сопряженных
решений были попарно сопряжены.
Доказательство этого утверждения
полностью повторяет доказательство
аналогичного утверждения в случае
простых корней, которое приведено
после теоремы 2.1.1.