12.Неоднородное линейное ду.

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), 

где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:  1) если y₁(x) и y₂(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция y(x) = y₁(x) - y₂(x) — решение соответствующего  однородного уравнения; 2) если y₁(x) решение неоднородного уравнения, а  y₂(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция y(x) = y₁(x) + y₂(x) — решение неоднородного уравнения; 3) если  y₁(x), y₂(x), ...,  y_n(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а y_ч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения,  то для любых начальных значений  x₀,  y₀,   y_0,1, ..., y_0,n-1  существуют такие значения  c*₁, c*_n, ..., c*_n, что решение  y*(x)=c*₁ y₁(x) + c*₂ y₂(x) + ... + c*_n y_n (x) + y_ч(x) удовлетворяет при x = x₀ начальным условиям y*(x₀)=y₀, (y*)'(x₀)=y_0,1 , ...,(y*)^(n-1)(x₀)=y_0,n-1.

Выражение  y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x)   + y_ч(x)  называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:  P_k(x)exp(ax)cos(bx) + Q_m(x)exp(ax)sin(bx),  где P_k(x), Q_m(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.  Искомое решение уравнения записывается в виде: (P_r(x)exp(ax)cos(bx) + Q_r(x)exp(ax)sin(bx))x^s,  где P_r(x), Q_r(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами p_r , p_r-1, ..., p₁, p₀, q_r, q_r-1, ..., q₁, q₀.  Сомножитель x^s называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень l =a ± ib  кратности s. Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x^s. Если же такого совпадения нет (s=0),  то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения  в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.  Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x^texp(ax)sin(bx), x^texp(ax)cos(bx)  с одинаковыми степенями t.  Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

 Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... ,l_n, записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)); найти любое частное решение неоднородного уравнения y_ч(x); записать выражение для общего решения  y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x) + y_ч(x); Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c₁,..., c_n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений   c₁ y₁(x₀) +  c₂ y₂(x₀) + ... + c_n y_n(x₀) + y_ч(x₀)= y₀, c₁ y'₁(x₀) +  c₂ y'₂(x₀) + ... + c_n y'_n(x₀)   + y_ч(x₀)=y_0,1, ......... , c₁ y₁^(n-1)(x₀) +  c₂ y₂^(n-1)(x₀) + ... + c_n y_n^(n-1)(x₀) + y_ч(x₀)= y_0,n-1