25.Приложения двойного интеграла.

Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле  , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.  Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой

Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями  , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций  , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство  , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные   и   непрерывны всюду в области R. 

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями   (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью   с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

   Пример 1

Найти площадь области R, ограниченной гиперболами   и вертикальными прямыми  .

Решение.

Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа

получаем

   Пример 2

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями  .

Решение.

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

Получаем

   Пример 3

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями  .

Решение.

Данное тело показано на рисунке 6.

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x доz = 4 − x. Тогда объем равен

   Пример 4

Описать тело, объем которого определяется интегралом  .

Решение.

Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oyи прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности  . Объем тела равен

   Пример 5

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  .

Решение.

Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

   Пример 6

Найти объем тела, ограниченного поверхностями  .

Решение.

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при   значения y изменяются от 1 − x до  . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен

Вычислим полученные три интеграла отдельно.

Сделаем замену:  . Тогда  . Видно, что t = 0 при x = 0, и   при x = 1. Следовательно,

(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).  Вычислим второй интеграл  , используя замену переменной. Полагаем  . Тогда  . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен

Наконец, вычислим третий интеграл.

Таким образом, объем тела равен

   Пример 7

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением  .

Решение.

Рассмотрим лепесток в секторе   (рисунок 13). Область интегрирования имеет вид  . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна

   Пример 8

Вычислить объем единичного шара.

Решение.

Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид   (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как

Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем

В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством  . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой

Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть  . Тогда  . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем

Таким образом, оьъем единичного шара равен

   Пример 9

Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15).

Решение.

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать

Следовательно,

Тогда объем конуса равен

   Пример 10

Вычислить площадь cферы радиуса a.

Решение.

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид

Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле

Найдем частные производные.

Подставляя найденные производные, получаем

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты.

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна