28. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:
Предполагается, что выполнены следующие условия:
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В
приведенном выражении
Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат. |
Пример 1 |
|
Найти объем области U, заданной неравенствами Решение. Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов. Сделаем следующую замену: Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами Объем тела равен Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новыеu, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования: Тогда Следовательно, объем тела равен |
Пример 2 |
|
Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами Решение. Введем новые переменные Вычислим якобиан обратного преобразования: Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение: Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен Теперь легко вычислить объем тела:
|
означает
абсолютное значение якобиана.
Для
вычисления тройных интегралов часто
используются цилиндрические и сферические координаты.
Эти случаи рассматриваются подробно
на страницах
29. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8):
r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки; —
угол между радиус-вектором |
|
и
положительным направлением оси OZ;
— угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).
Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:
или 
, 
Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):
|
|
|
Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:
,
I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:
,
так как 
поэтому 
.
Таким
образом, 
.
Бесконечно
малый элемент объема в сферических
координатах имеет вид: 
;
формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид:
|
(3) |
Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.
Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.
Пример 3 (вычисление тройного интеграла в сферических координатах)
Вычислить 
,
где 
Решение Область
|
|
представляет
собой верхнюю половину шара радиуса
2 с центром в начале координат. Запишем
неравенствами область V в
сферических координатах:
Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле (3) и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств:
30. Приложения тройного интеграла.
1. Вычисление объёма тела:
2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (x; y; z):
3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:
4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (x; y; z):
Пример 2.11.
Найти
массу тела с переменной плотностью 
,
если тело Uограничено: 
, 
, 
, 
, 
.