8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами , где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач. Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений. Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂ , где y₁ и y₂ – частные линейно независимые решения, а С₁ и C₂ – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y₁ и y₂. Эйлер предложил искать частные решения в виде . Если принять частным решением уравнения , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество. Так мы получили характеристическое уравнение. Решения k₁ и k₂ этого квадратного уравнения определяют частные решения и нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

1. действительными и различными ,

2. действительными и совпадающими ,

3. комплексно сопряженной парой .

В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются и , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть . Функции и действительно линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля для любых действительных x при . Во втором случае одним частным решением является функция . В качестве второго частного решения берется . Покажем, что действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость y₁ и y₂. Так как k₁ = k₀ и k₂ = k₀ совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид . Следовательно, - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него и убедимся, что уравнение обращается в тождество: Таким образом, является частным решением исходного уравнения. Покажем линейную независимость функций и . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля. Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами являются и , и общее решение есть при . В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ и . Общее решение запишется как . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями и , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного : где С₃ и С₄ – произвольные постоянные. Итак, обобщим теорию. Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

1. Записываем характеристическое уравнение k² + p ⋅ k + q = 0.

2. Находим корни характеристического уравнения k₁ и k₂.

3. В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде

   • , если ;

• , если ;

• , если .

Рассмотрим примеры для каждого случая. Пример. Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение. Запишем характеристическое уравнение k² + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Мы имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид k² - k + 3 = 0. Найдем его корни: Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид