7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Это уравнение - неоднородное линейное; если F(x)=0, то уравнение называется однородным линейным.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид y=C1y1+C2y2, где C1,C2 - постоянные; y1, у2 - линейно независимые решения уравнения (две функции называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянной). Такие решения у1 и y2 образуют так называемую фундаментальную систему решений.
Если известно только одно частное решение однородного уравнения у1 то другое находится по формуле
где С - постоянная.
Если коэффициенты р(х), q(x) и F(x) разлагаются в сходящиеся ряды по степеням х-х0 в некоторой окрестности точки х0, то решения ищут также в форме рядов по степеням х-х0, сходящихся в той же окрестности. Коэффициенты разложения находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x-x0.
Задача отыскания решений однородного уравнения значительно упрощается, если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны:
где а0, a1, а2 - данные числа. Решения уравнения зависят от корней характеристического уравнения a0k2+а1k+a2=0. в табл. 1 даны результаты в зависимости от дискриминанта
Таблица 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 1 функция φ(х) есть частное решение неоднородного уравнения; оно может быть найдено по способу неопределенных коэффициентов, если правая часть дифференциального уравнения имеет следующую структуру:
где Р1(х) и Р2(х) - многочлены.
В общем же случае применяют вариацию произвольных постоянных, а именно: заменяют постоянные C1 и С2 функциями C1(x) и С2(х); производные этих функций должны удовлетворять системе алгебраических линейных уравнений:
Найдя С′1 и С′2, получают
где D1 и D2 - произвольные постоянные.
Уравнение вида x2y"+xp(x)y'+q(x)y=0 в том случае, если р(х) и q(x) разлагается в сходящиеся ряды по степеням х, имеет решение
где k определяется из уравнения
а коэффициенты а0, а1, ... находят методом неопределенных коэффициентов.
ПРИМЕР 1. Уравнение Эйлера:
В этом случае
и решение имеет вид
ПРИМЕР 2. Уравнение Бесселя:
Для k получается
откуда k=±y.
Два решения имеют вид
Определение аp с помощью метода неопределенных коэффициентов приводит к функциям Бесселя . Примечание: Символ неопределенного интеграла используется для обозначения какой-либо первообразной от подынтегральной функции.
Определителем Вронского W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y1(x), y2(x), ..., yn(x) из Cn-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:
Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.
Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ≡ 0 на [a;b].
Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.
Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке. Пример.Вычислим на всей числовой оси определитель Вронского W(x;1, x, x2,..., xn) — определитель Вронского системы функций 1, x, x2,..., xn.
Определитель Вронского на всей числовой оси отличен от нуля, следовательно функции 1, x, x2,..., xn линейно независимы на всей числовой оси.
Фундаментальная система решений
Совокупность двух линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образует его фундаментальную систему решений. Если y1(x), y2(x) − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде
где C1, C2 − произвольные постоянные. Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений y1(x), y2(x) можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде:
