2.2. Компоненты напряженно-деформированного состояния тела

Компоненты напряженно-деформированного состояния тела разделяются на три группы.

1. Перемещения вдоль координат характеризуются тремя величинами , которые образуют вектор

. (2.1)

2. Деформации в направлениях (линейные деформации) и деформации в плоскостях (угловые деформации). Эти деформации образуют вектор

. (2.2)

3. Нормальные напряжения в направлениях и касательные напряжения в плоскостях . Эти напряжения образуют вектор

. (2.3)

Пятнадцать компонент векторов являются независимыми компонентами напряженно-деформированного состояния тела.

2.3. Закон Гука

В современной трактовке закон Гука формулируется следующим образом.

Нормальное напряжение в одномерной постановке пропорционально линейной деформации:

. (2.4).

Касательное напряжение пропорционально угловой деформации:

. (2.5).

Коэффициент пропорциональности называется модулем упругости (модулем Юнга), а коэффициент пропорциональности называется модулем сдвига.

Обобщенный закон Гука (см. лекции).

2.4. Закон Пуассона

Линейная поперечная деформация пропорциональна линейной продольной деформации и противоположна по знаку:

. (2.6).

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона.

2.5. Упругие постоянные изотропного материала

Модуль упругости , модуль сдвига и коэффициент Пуассона называются упругими постоянными (механические характеристиками) изотропного материала. Между ними существует однозначное соотношение (связь между упругими постоянными)

. (2.7)

Упругие постоянные изотропного материала определяются экспериментально.

2.6. Закон парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений формулируется следующим образом.

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны и обратны по знаку:

. (2.8).

2.7. Пять групп соотношений в любой теории механики деформируемого твердого тела

Все соотношения любой теории механики деформируемого твердого тела и, в частности, математической теории упругости, состоят из пяти групп:

- геометрические соотношения;

- физические соотношения;

- уравнения равновесия (движения);

- граничные условия;

- начальные условия (при динамическом нагружении).

Геометрические соотношения связывают деформации в точках сплошного тела с перемещениями в этих точках. Эти соотношения не зависят от материала, из которого изготовлено тело, и от действующих на тело нагрузок.

Физические соотношения связывают напряжения в точках тела с деформациями и температурой в этих точках.

Уравнения равновесия (движения) связывают напряжения во внутренних точках тела с объемными нагрузками и ускорениями (при динамическом нагружении) этих точек.

Граничные условия:

либо связывают напряжения в точках на поверхности тела с сосредоточенными, погонными и поверхностными нагрузками (статические граничные условия);

либо накладывают некоторые ограничения на перемещения в точках на поверхности тела (кинематические граничные условия).

Начальные условия (при динамическом нагружении) задаются для перемещения и скоростей перемещений всех точек тела.

3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЕЙ

3.1. Растяжение-сжатие

Геометрические соотношения

(3.1)

Физические соотношения

. (3.2)

Уравнения движения

. (3.3)

Граничные условия

или . (3.4)

Нормальные напряжения

. (3.5)

3.2. Изгиб в плоскости

Геометрические соотношения

. (3.6)

Физические соотношения

. (3.7)

Уравнения движения

. (3.8)

Граничные условия

. (3.9)

Нормальные напряжения

. (3.10)

3.3. Кручение стержней круглого поперечного сечения

Геометрические соотношения

. (3.11)

Физические соотношения

. (3.12)

Уравнения движения

. (3.13)

Граничные условия

или . (3.14)

Касательные напряжения

. (3.15)

3.4. Диаграмма растяжения материала (рис. 3.1)

Рис. 3.1

Характерные точки на этой диаграмме:

- - предел пропорциональности (напряжения при пропорциональны деформациям );

- - предел текучести (соответствует площадке текучести);

- - предел прочности (соответствует максимуму на диаграмме).

3.5. Условие прочности при растяжении-сжатии и изгибе. Коэффициент запаса

. (3.16)

Здесь - допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение либо задано, либо (в случае пластичного материала) вычисляется по формуле

. (3.17)

Здесь - коэффициент запаса прочности (или просто коэффициент запаса).

Для правильно спроектированной конструкции должно быть .

Значение коэффициента запаса зависит от назначения проектируемой конструкции (коэффициент запаса прочности, очевидно, будет различным для лифта и скамейки в парке); стабильности нагружения; уровня технологии и ряда других факторов. Запасы прочности представляют собой критерии сопоставления прочностной надежности вновь создаваемой конструкции с подобными конструкциями, имеющими положительный опыт эксплуатации.

Коэффициент запаса назначается главными конструкторами (как правило, на совещании главных конструкторов). В некоторых областях техники коэффициент запаса регламентируется так называемыми «Нормами прочности». Для строительных конструкций коэффициент запаса прочности регламентируется «Строительными нормами и правилами (СНиП)», для машиностроительных – внутриотраслевыми заводскими нормами. В большинстве случаев коэффициент запаса прочности принимается равным для пластичных материалов и для хрупких материалов.