3.6. Условие прочности при кручении

.

Здесь - допускаемое касательное напряжение.

Допускаемое напряжение либо задано, либо вычисляется по формуле

.

3.7. Интеграл Мора

Постановка задачи.

Дано: Стержень, нагруженный системой сил (без нагрева).

Найти: Перемещение сечения 1 в заданном направлении.

Для решения этой задачи необходимо:

1. Построить все эпюры ( ) от внешних нагрузок.

2. Приложить в сечении 1 единичную силу (для определения перемещения) или единичный момент (для определения угла поворота сечения) в заданном направлении.

3. Построить все эпюры ( ) от единичной силы.

4. Вычислить перемещения по формуле

. (3.18)

Эта формула называется интегралом Мора.

3.8. Способ Верещагина для раскрытия интеграла Мора

Пусть для участка стержня с постоянным поперечным сечением мы имеем эпюры некоторые и (рис. 3.2). Пусть одна из эпюр линейно зависит от координаты (например, для эпюры это условие выполняется всегда). Тогда вклад в суммарное перемещение сечения от эпюры вычисляется по формуле Верещагина

. (3.19)

где - площадь эпюры ;

- ордината эпюры под центром тяжести эпюры (рис. 3.2).

Рис. 3.2

3.9. Принцип Сен-Венана

Коротко принцип Сен-Венана можно сформулировать так:

“Особенности приложения внешних нагрузок к стержню и характера опор, а также скачкообразное изменение поперечного сечения стержня, проявляются в зонах, расположенных на расстояниях, соизмеримых с размерами поперечного сечения стержня”.

Очевидно, в этих зонах нарушается гипотеза плоских нормальных напряжений, и, следовательно, все приведенные ранее предположения о характере распределения напряжений по сечению стержня не соответствуют действительности. В этих зонах получить картину напряженно-деформированного состояния классическими методами сопротивления материалов невозможно. Для этих целей применяются методы теории упругости, численные методы (например, метод конечных элементов) и др.

На рис. 3.3 пунктиром очерчены зоны, которые следует исключить из рассмотрения классическими методами сопротивления материалов. На всех остальных участках напряжения в точках стержня могут быть вычислены по стандартной формуле.

Принцип Сен-Венана не имеет строгого доказательства, однако подтверждается экспериментально и опытом решения большого количества задач.

Рис. 3.3

4. Геометрические характеристики сечений

4.1. Общие определения

Площадь поперечного сечения:

. (4.1)

Статические моменты инерции:

. (4.2)

Если оси и проходят через центр тяжести поперечного сечения, то статические моменты инерции равны нулю.

Осевые и центробежный моменты инерции:

. (4.3)

Полярный момент инерции:

. (4.4)

4.2. Геометрические характеристики для прямоугольника сечения с отверстием (рис. 3.4)

Рис. 3.4

Рис. 3.5

;

.

4.3. Геометрические характеристики для кольцевого сечения (рис. 3.5)

;

.

4.4. Главные оси и главные моменты инерции

Осевые моменты инерции в главных осях принимают экстремальные значения (максимумы или минимумы) и называются главными моментами инерции.

Относительно главных осей .