20. Зависимость и независимость случайных величин.

Пусть – двумерный случайный вектор. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если выполняется равенство . В противном случае они называются зависимыми. Независимость СВ Х и Y означает, что при любых события и независимы.

Теорема 1. Непрерывные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если выполняется равенство .

Доказательство. Пусть СВ Х и Y независимы, т.е. выполняется равенство . Дифференцируя это равенство сначала по х, затем по у, получим . Из полученного равенства и определений плотности распределения для одной СВ и для системы двух СВ следует, что .

Пусть теперь выполняется равенство . Интегрируя это равенство по х и у, получим . Из формул, выражающих функции распределения через плотности, следует, что , т.е. СВ Х и Y независимы.

Теорема 2. Дискретные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если при любых выполняется равенство

.

Из определения независимости и приведённых теорем следует, что зная законы распределения независимых СВ Х и Y, всегда можно найти закон распределения вектора . Если же СВ Х и Y зависимы, то знания их законов распределения недостаточно, чтобы найти закон распределения вектора .

Рассмотрим, далее, случайный вектор . Случайные величины называются независимыми, если выполняется равенство , где – функция распределения СВ ( ). Необходимым и достаточным условием независимости непрерывных СВ является выполнение равенства

,

где – плотность распределения СВ ( ). Условием независимости дискретных СВ является выполнение равенства

при любых .

21. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин.

Пусть – двумерный случайный вектор. Тогда число

называется корреляционным моментом СВ Х и Y. Для дискретных СВ Х и Y с возможными значениями и корреляционный момент определяется по формуле , где , , , для непрерывных СВ – по формуле , где – плотность распределения вектора . Размерность совпадает с произведением размерностей СВ Х и Y.

Корреляционный момент служит для характеристики рассеивания величин Х и Y и вероятностной зависимости между ними. Если , то величины Х и Y называются положительно коррелированными, если – отрицательно коррелированными, если – некоррелированными. Положительная (отрицательная) корреляция означает, что при возрастании одной из СВ другая имеет тенденцию в среднем возрастать (убывать). Некоррелированность означает, что при возрастании одной из СВ другая не имеет тенденции к возрастанию или убыванию.

Теорема. Если СВ Х и Y независимы, то они некоррелированы.

Доказательство. Для независимых дискретных СВ Х и Y имеем

.

Для непрерывных СВ имеем

.

В обоих случаях получено произведение первых центральных моментов СВ Х и Y, каждый из которых равен нулю, т.е. .

Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности двух СВ не следует их независимость.

На практике для характеристики вероятностной зависимости СВ Х и Y используется также коэффициент корреляции (нормированный корреляционный момент), который определяется формулой , где и – средние квадратические отклонения СВ Х и Y. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, а его знак совпадает со знаком корреляционного момента.

Рассмотрим, далее, случайный вектор и введём обозначение . Тогда матрица называется корреляционной матрицей этого вектора. Её элементы обладают свойствами , и , , . Аналогичным образом можно построить нормированную корреляционную матрицу случайного вектора .