35. Понятие об интервальном оценивании параметров.

Точечная оценка параметра распределения СВ позволяет найти лишь его приближённое значение. На практике бывает необходимо знать, насколько сильно может отличаться значение этого параметра от возможных значений оценки для различных выборок измерений. Ответ на этот вопрос даёт интервальный (доверительный) способ оценивания параметров.

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности Х. Интервальный (доверительный) способ оценивания состоит в построении случайного интервала , который с заданной вероятностью , близкой к единице, содержит в себе неизвестное значение рассматриваемого параметра . Такой интервал называется доверительным, а соответствующая вероятность  – доверительной. Левая и правая границы этого интервала представляют собой некоторые функции и , т.е. являются случайными величинами.

Доверительная вероятность характеризует надёжность доверительного оценивания: чем больше , тем чаще в среднем оправдывается вывод о том, что интервал, соответствующий полученной выборке измерений CВ Х, содержит в себе неизвестное значение параметра . С ростом доверительной вероятности, однако, растёт и средняя длина интервала, т.е. падает точность интервального оценивания. Таким образом, вероятность  должна быть такой, чтобы надёжность интервальной оценки была достаточно высокой, но её точность при этом оставалась приемлемой.

Границы случайного интервала, который с заданной вероятностью  содержит в себе неизвестное значение параметра, определяется неоднозначно, т.е. функции и могут быть выбраны по-разному. Для того чтобы оценка параметра была наиболее точной, доверительный интервал строится исходя из требования наименьшей средней длины.

Числовой интервал, построенный для заданной доверительной вероятности  по данным выборки , называется реализацией соответствующего доверительного интервала и обозначается .

36. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределённой случайной величины.

Пусть – случайная выборка объёма n из генеральной совокупности Х, имеющей нормальное распределение с неизвестными параметрами m и . Будем считать, что в качестве точечных оценок этих параметров используются СВ и . Требуется при заданной доверительной вероятности  построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии СВ Х.

Доказывается, что при нормальном распределении СВ Х величина является дробью Стьюдента с степенями свободы. Пользуясь таблицей, по известным n и  найдём значение  из условия

. (1)

Учитывая равенства

,

получим доверительный интервал для математического ожидания в виде

,

где  определяется из условия (1). Реализация этого интервала имеет вид .

Доказывается, что при нормальном распределении СВ Х величина имеет распределение “хи-квадрат” с степенями свободы. Пользуясь таблицей, по известным n и  найдём и из условий

и . (2)

Тогда

.

Учитывая равенства

,

получим доверительный интервал для дисперсии в виде

,

где и определяются из условий (2). Реализация этого интервала имеет вид .

Изложенный метод построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределённой СВ может применяться как при большом, так и при малом объёме выборки. С увеличением объёма выборки n при неизменной доверительной вероятности  средняя длина интервала уменьшается, а значит, растёт точность интервального оценивания.