33. Понятие о точечных оценках параметров и их свойствах.

Выше была рассмотрена задача нахождения закона распределения СВ (ряда, функции или плотности распределения СВ) по результатам её измерений. Однако на практике часто встречаются ситуации, когда вид закона распределения уже известен и требуется найти только параметры, от которых он зависит. В частности, для нормального закона задача сводится к нахождению параметров m и , для закона Пуассона – параметра . В некоторых задачах вообще не требуется знать вид закона распределения СВ, а требуется найти только её числовые характеристики, например, математическое ожидание и дисперсию.

Пусть закон распределения СВ Х зависит от некоторого параметра , значение которого неизвестно (под параметрами будут пониматься также числовые характеристики), а – случайная выборка из генеральной совокупности Х. Тогда приближённое значение параметра  определяется как значение некоторой функции . Функция называется точечной оценкой параметра  и является случайной величиной, т.к. её значение зависит от значений СВ .

Числовое значение точечной оценки параметра , вычисленное по данным выборки , называется реализацией соответствующей оценки. Для того чтобы реализацию оценки можно было считать приемлемым приближением к значению параметра, эта оценка должна обладать определёнными свойствами.

Оценка параметра  называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объёма случайной выборки она сходится по вероятности к точному значению параметра, т.е. для любого имеет место

.

Требование состоятельности является обязательным для любой точечной оценки, применяемой на практике.

Оценка параметра  называется несмещённой, если при любом фиксированном объёме случайной выборки имеет место , т.е. среднее значение оценки совпадает с точным значением параметра. В противном случае оценка называется смещённой.

Несмещённая оценка параметра  называется эффективной, если при любом фиксированном объёме случайной выборки она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещённых оценок этого параметра.

Точечные оценки, используемые на практике, не всегда являются несмещёнными и эффективными. Например, может оказаться, что эффективная оценка существует, но формула для её вычисления очень сложна, и тогда приходится использовать другую несмещённую оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда с целью простоты расчётов применяются незначительно смещённые оценки.

Оценка параметра  называется асимптотически несмещённой, если . Несмещённая оценка называется асимптотически эффективной, если , где – эффективная оценка.

34. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности Х, математическое ожидание m и дисперсия D которой неизвестны. В качестве точечной оценки математического ожидания на практике обычно используется среднее арифметическое случайных результатов измерений, т.е. СВ . В силу теоремы Чебышёва данная оценка является состоятельной. Она является несмещённой, т.к.

.

При некоторых законах распределения СВ Х эта оценка является эффективной. Величина называется выборочным математическим ожиданием (выборочным средним).

В качестве точечной оценки дисперсии может использоваться выборочная дисперсия , т.е. среднее арифметическое квадратов отклонений случайных результатов измерений от выборочного среднего. Доказывается, что , т.е. СВ является асимптотически несмещённой оценкой дисперсии. В качестве несмещённой оценки используется исправленная дисперсия . Оценки и являются состоятельными. При большом объёме выборки их реализации почти не различаются.

В качестве точечных оценок среднего квадратического отклонения обычно используются величины

и ,

называемые, соответственно, выборочным и исправленным средними квадратическими отклонениями. Оценки S и являются состоятельными и асимптотически несмещёнными.

Реализации оценок и , вычисленные по данным выборки , обозначаются, соответственно, и .