22. Многомерное нормальное распределение.

Непрерывный случайный вектор называется распределённым по нормальному закону с параметрами , и , если его плотность вероятности задаётся формулой

.

Можно показать, что при этом , и .

Если СВ Х и Y некоррелированы, т.е. , то данная формула принимает вид

,

где и – плотности распределения СВ Х и Y соответственно. Отсюда следует, что некоррелированные СВ Х и Y независимы. Таким образом, нормально распределённые СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если они некоррелированы.

Рассмотрим непрерывный случайный вектор и введём следующие обозначения: , ; – определитель корреляционной матрицы ; – матрица, обратная к матрице К. Данный вектор называется распределённым по нормальному закону, если его плотность вероятности выражается формулой

.

При из этой формулы можно получить приведённое выше выражение для плотности вероятности нормально распределённого случайного вектора .

23. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин.

Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где – заданная функция. Последнее означает, что если СВ Х принимает некоторое значение х, то СВ Y принимает значение , т.е. значение СВ Y однозначно определяется значением СВ Х. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию СВ Y.

Пусть Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями . Поскольку , , то Y – дискретная СВ с возможными значениями , вероятности которых равны , а если какое-нибудь значение повторяется, то его вероятность равна сумме соответствующих вероятностей. Из формул для математического ожидания и дисперсии дискретной СВ получим

, .

Отметим, что значения в общем случае не упорядочены по возрастанию, а некоторые из них могут совпадать. Однако от перестановки и объединения слагаемых под знаком суммы значения и , очевидно, не изменяются.

Если Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , то заменяя суммирование интегрированием, а вероятности – элементами вероятности, можно получить формулы

, .

Замечание. Из всех приведённых формул видно, что для вычисления математического ожидания и дисперсии СВ Y не нужно находить её закон распределения, а достаточно знать только закон распределения СВ Х.

Аналогичные формулы существуют для математического ожидания и дисперсии функции двух СВ. Пусть СВ Z связана с СВ Х и Y зависимостью , где – заданная функция. Тогда если Х и Y – дискретные СВ с возможными значениями и и известны вероятности , , , то

,

.

Если Х и Y – непрерывные СВ и известна плотность , то

, .

Приведённые формулы имеют естественное обобщение на случай функции произвольного числа СВ.

24. Основные свойства математического ожидания.

1⁰. Если с – константа, то .

Доказательство. Рассматривая константу как дискретную СВ, принимающую единственное возможное значение с вероятностью, равной единице, получим .

2⁰. Если с – константа, а Х – случайная величина, то .

Доказательство. Если Х – дискретная СВ, то

.

Если Х – непрерывная СВ, то

.

3⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место

.

Доказательство проведём для случая, когда СВ Х и Y являются дискретными. Применяя формулу для математического ожидания функции двух СВ, получим

.

Но и , следовательно,

.

Данное свойство имеет обобщение на случай произвольного числа слагаемых: для СВ по индукции можно получить равенство

.

4⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место

.

Доказательство. Из определения корреляционного момента и свойств математического ожидания имеем

,

откуда вытекает требуемое равенство.

Из данного свойства следует, что если СВ Х и Y некоррелированы, то . Эта формула имеет обобщение на случай произвольного числа величин: если – независимые СВ, то

.