4.1.1.1. Корреляционный метод расчёта

Если известен временной или пространственный импульсный отклик (функция рассеяния) линейной системы , то сигнал на входе связан с сигналом на выходе интегралом свёртки

Тогда для математического ожидания получим

Корреляционная функция на выходе линейной системы имеет вид

Меняя местами операции интегрирования и математического ожидания, с учётом однородности (стационарности ) входного сигнала найдём

где .

Так как выражается через однородную , то она тоже однородна. Иначе говоря, корреляционная функция зависит только от разности аргументов , так что

Таким образом, в силу однородности выражение (4.3) имеет вид

В результате, если на вход линейной инвариантной системы поступает однородный (стационарный) случайный сигнал, то на выходе системы сигнал оказывается однородным (стационарным).

В частности, дисперсия сигнала на выходе системы

так что для её определения необходимо знать лишь корреляционную функцию на входе.

Соответствующие зависимости для стационарного случайного процесса имеют вид

4.1.1.2. Частотный метод расчёта

Используя частотный метод расчёта, найдём связь между спектральной плотностью случайного сигнала на входе и выходе линейной инвариантной системы. В этом случае имеем

Вводя новые переменные и , получим

или

Если действительная функция (например, НКгрФР), то

и

Для дисперсии имеем

Для стационарного случайного процесса соответствующие зависимости примут вид

4.1.2. Преобразование случайного сигнала нелинейной системой

Реальная нелинейная система представляет собой, как правило, сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными элементами. Это значительно усложняет нахождение статистических характеристик случайного сигнала на выходе всей системы. В линейных системах сравнительно просто определяется корреляционная функция (или спектральная плотность) случайного сигнала, но очень сложно-плотность распределения вероятностей. В нелинейных, но безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общие методы анализа преобразования случайных сигналов в нелинейных системах в настоящее время практически не разработаны. Приходится ограничиваться некоторыми частными задачами, представляющими практический интерес и поддающимися решению. В качестве примера нелинейной системы возьмём нелинейный безынерционный элемент (НБЭ) и рассмотрим воздействие на него случайного процесса. Простейшим безынерционным преобразованием случайного процесса является такое преобразование, при котором значение выходной функции для любой координаты определяется только значением входной функции для той же координаты , т.е.

где – некоторая функция, описывающая нелинейное преобразование.

При анализе преобразования случайного процесса нелинейным элементом задача ставится следующим образом: предполагая известными параметры элемента и статистические характеристики входного случайного процесса , будем искать статистические характеристики процесса на выходе .