36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
Пусть
треб н-ти экстрем ф-ции u=f(x1..xn, y1..ym) при
налич услов связи Fi(x1..xn, y1..ym)=0 состав
ф-цию:
эту ф-цию наз ф-цией Лагранжа счит что
для
вып все услов сформулир ранее и что
ф-ция u дифференц, выберем множет
так чтобы выполн равенст:
=0,
=0,
=0,
Это
можно сдел т.к. эти рав прив к систем
линейн уравнен:
=0…
=0
определ которой:
,
потому дифференц ф-ции: d
+
+…+
=
+..+
т.к. при сдел предпол перемен x1..xn явл
независ то отсюда:
,
в резул для нах условн экстрем получ
сист n+2m уравн:
…
– n-уравн;
…
=0
– m-уравн;
F1=0…Fm=0
–m- уравн.(*) решая эту ситем найд коорд
точек возможн экстрем и множет:
…
.
Предпол что в М0 вып необх услов условн
экстрем.Пусть ф-ции u1, F1,F2…Fm дважды
диференц в окрестн точки М0 и все частн
произв 2-го порядка непрер в М0. Из
построен ф-ции Лагранжа видно что при
нал услов связи (2) экстрем ф-ции u и ф-ции
Лагранжа совпад поэт для получ достат
услов в точке М0 ф-ци u при нал связей
след присоед к услов сис уравн (*), требов
знака определ в этой точке
при этом в точке М0 будет минимум если
при налич связей:
М0>0
услов min;
М0<0-max.
Замеч: второй дифференц
М0
можно вычисл так как если бы все перемен
x1..xn, y1..ym были незав в этом случ:
=(
2
..
37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
Пусть
–
числовая последовательность. Выражение вида
называется числовым рядом, числа
,
,
…,
,
… – членами ряда, а
число
–
-м
или общим членом ряда.
Сумма
конечного числа
первых членов
называется -й частичной суммой данного ряда.
В частности,
,
,
,
……………………
Если
для последовательности
частичных
сумм ряда
существует
конечный
предел
,
то ряд
называется
сходящимся, а число
– суммой
данного ряда:
.
Если предел последовательности
не существует или равен бесконечности,
то ряд называют расходящимся.
38.Необход признак сходим ряда.
Теор:
если ряд
сход, то его n-член стрем к 0, при n
,
тоесть
=0.Д-во:
рассмотр частичн суммы данного ряда:
Sn-1=a1+a2+..+an-1;
Sn-=a1+a2+..+an-1+an
т.к.
ряд
сход
то
Sn-1=
Sn-=S ,т.к.
an= Sn= Sn-1, то
=
(Sn- Sn-1)=S-S=0. Следств:
n-член ряда не стрем к нулю при n
,
то ряд расход:
.
Расм ряд вида:
=1+
an=
,
=0,
то данный ряд расход предпол что данный
ряд сход, тоесть:
Sn=S,
S2n=S,
S2n-
Sn)=0 однако: S2n- Sn=
>
n=
получ против, следов данный ряд расход,
этот ряд наз гармоническим.
39. Признак сравнения рядов
(признак Дирихле) Пусть
1)
последовательность
монотонна и
,2)
последовательность сумм
,
,
ограничена. Тогда ряд
сходится.
(признак Абеля) Пусть
1)
последовательность
ограничена и монотонна, 2) ряд
сходится. Тогда ряд
сходится.
(признак
Коши) Пусть для ряда
(
)
существует предел
.
Тогда при
ряд
сходится, а при
ряд
расходится.
(признак
сравнения) Пусть для членов рядов
и
справедливо неравенство
.
Тогда:1) если ряд
сходится, то и ряд
сходится, 2) если ряд
расходится, то и ряд
расходится
(интегральный
признак Коши) Если неотрицательная
интегрируемая функция
на промежутке
монотонно убывает, и члены ряда
имеют вид
,
то ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно,
причем в случае сходимости имеет место
неравенство: