40.Признак Даламбера.

Пусть дан ряд , , если существ: , то данный ряд сход при q<1, и при q>1 расход. Д-во: равенс: , означ что N, что при n>N, будет ; q- рассмотр 2 случая: 1) q<1 выбер так, чтобы тогда: или an+1<( ) an – при n>N, пологая n=N+1, N+2.. получ an+2<an+1 ); an+3<an+2( ) an+1< ); an+4<an+3( ) <an+2( ); след начин с n+2 все члены ряда не превосх соотв членов геометр прогрессии, котор сход: <1 поэт сход и данный ряд; 2) пусть q>1 выбер так, чтобы , тогда , an+1>(q- an это означ что начин с номера N+1 все члены ряда возраст в этом случ не выполн необход признак сход и значит ряд расходится.

41.Признак Коши.

Пусть дан ряд , , если сущ , то данный ряд сход при q<1 и при q>1 расход. Д-во: услов ,означ что N, что при n>N, будет или отсюда q-

Рассм две ситуации:1) q<1 выбер так чтобы , тогда и )n, следов каждый член ряда начин с номера N+1 меньше соотв члена сходящ геометр прогрессии, поэтому данный ряд сход; 2) пусть q>1 выбер так, чтобы , тогда , )n, тоесть начин с номера N+1 члены ряда возрастают в этом случ не вып необход признак сход ряда и данный ряд расход.

42. Интегральный признак Коши

Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:

43. Признак Лейбница

Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1) ;2) .

Тогда ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т. е. .

44. Абсолютная сходимость рядов

Пусть дан ряд =а1+а2+…, членами которого явл. действительные ч-ла любого знака. Рассм. ряд, составленный из модулей членов данного ряда =а1+а2+…

Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд .Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами сходится.Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Замечание. Для того, чтобы ряд был абсолютно сходящимся необх. и достаточно, чтобы ряды составленные только из положит. и только из отриц. Его членов были сходящимися.

45. Признаки Дирихле и Абеля

Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.Теорема (признак Дирихле) Пусть

1) последовательность монотонна и ,2) последовательность сумм , , ограничена.

Тогда ряд сходится.

Теорема 6 (признак Абеля) Пусть

1) последовательность ограничена и монотонна,

2) ряд сходится.

Тогда ряд сходится.

47.Функциональные последовательности и ряды.

Пусть на множестве задана последовательность функций

,принимающих числовые значения в точках . Последовательность называется поточечно сходящейся к функции на множестве , если при любом фиксированном числовая последовательность сходится к , т. е. : : . Поточечная сходимость функциональной последовательности обозначается , .

Пусть , , …, , … – последовательность функций, определенных на некотором множестве .

Ряд ,членами которого являются функции , называется функциональным.

Если ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда . Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Для ряда конечная сумма называется -й частичной суммой и обозначается , а ряд называется -м остатком и обозначается .Ряд называется сходящимся поточечно к функции на множестве , если последовательность его частичных сумм сходится к на , т. е. . Функция называется суммой ряда.

Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если в каждой точке этого множества сходится ряд .