12. Частные производные ф-ии нескольких переменных

Пусть внутренняя точка области задания ф-ии . Рассм в данной фиксированной точке М отношение частного приращении я к соотв-му приращению

(1)

Это отношение представляет собой ф-ию от , для которой точка принадлежит области определения ф-ии .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если сущ предел отношения (1) частного приращения ф-ии в точке М к соотв-му приращению аргумента , то этот предел наз частной производной ф-ии в точке по переменной и обозначается либо либо . Т.е. частная производная .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Частная производная ф-ии по аргументу представляет собой обычную производную ф-ии одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисляются частные производные по обычным правилам вычисления производных ф-ий одной переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Из существования у ф-ии в данной точке всех частных производных вообще говоря не следует непрерывность ф-ии в этой точке.

13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ф-ия наз диф-ой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представимо в виде , где - некоторые независящие от числа, - б.м. при , , …, ф-ии, равные нулю Указанные соотношения наз условием диф-сти ф-ии нескольких переменных в данной точке М. это условие может быть записано также в другой форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при , , …, ф-ию . Эта ф-ия обращается в 0 лишь при . Покажем, что сумма представляет собой б. м. ф-ию высшего порядка, чем , т.е., что сумма есть , при справедливо нер-во . Поэтому . Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то сумма представляет собой главную линейную относительно приращения аргумента часть приращения дифференциала ф-ии n.

ТЕОРЕМА

Если ф-ии дифференцируемы в точке , то в этой точке частные производные по всем аргументам, причем частн. произв. , где определяется из условия диф-сти ф-ии.

ДОК-ВО:

Из условия диф-сти ф-ии в точке М следует, что ее частное приращение в этой точке имеет вид поэтому поэтому . Из этой теоремы получаем

СЛЕДСТВИЕ 1

Условие диф-сти ф-ии в данной точке М может быть записано в виде

СЛЕДСТВИЕ 2

Если ф-ия диф-ема в т.М, то представление в указанной форме единственно.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если ф-ия диф-ема в т.М, то она и непрерывна в этой точке.

14. Дифференциал функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциалом ф-ии в точке наз главная линейная относительно приращения аргументов часть приращения этой ф-ии в точке М. если все коэф-ты в представлении , то диф-ал ф-ии в точке М считается равным 0. Таким образом диф-ал ф-ии в точке имеет след выражение . Под диф-лом независимой переменной будем понимать любое независящее от число и будем брать это число равным приращению независимой переменной . В результате получаем, что диф-ал ф-ии определяется след выражением .