15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных

Если ф-ия имеет частные производные по всем аргументам в окрестности т. причем все эти частные производные непрерывны в самой т. , то указанная ф-ия дифференцируема в точке .

Ф-ии с непрерывными частными производными наз непрерывно дифференцируемыми.

16. Дифференцирование сложной ф-ии

Пусть дана ф-яи

где (1)

ТЕОРЕМА. Пусть ф-ия (1) дифференцируема в некоторой точке . Пусть ф-ия дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная ф-ия , где определены соотношениями (1), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной ф-ии в точке М определяются формулами:

где все частные производные берутся в точке N, а все частные производные берутся в точке М, зависящей от t.

ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае, когда ф-ии (1) зависят только от одного аргумента t , получим сложную ф-ию одной переменной t,т.е. , где (i=1,2,…,n). В этом случае производная этой сложной ф-ии определяется формулой

17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ф-ия , заданная на множ-ве {M} наз однородной ф-ей степени Р на этом множ-ве, если для каждой т. множ-ва {M} и для каждого числа t, для которого выполняется рав-во:

Пример:

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА(ОБ ОДНОРОДНОЙ Ф-ИИ)

Если явл в некоторой области М дифференцируемой однородной ф-ей степени Р, то в каждой точке области {M} справедливо рав-во:

.

18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных

Пусть дана ф-ия . Если ф-ия диф-ема и аргументы явл независимыми переменными, то дифференциал этой ф-ии будет

Предположим, что это соотношение имеет место и в том случае, когда аргументы явл диф-ыми ф-ями переменных ,т.е.

Указанные свойства первого дифференциала обычно наз инвариантностью его первой формы. Пусть ф-ия дифференцируема в точке , а ф-ии (i=1,2,…,n) дифференцируемы в точке А причем . В этом случае ф-ию можно рассматривать как сложную ф-ию независимых переменных , которая в силу теоремы о дифференцируемости сложной ф-ии будет диф-ема в точке А. поэтому дифференциал duэтой сложной ф-ии можно представить в виде

где (i=1,2,…,k) Представляя эти соотношения в выражении для du и собирая коэф-ты при получим

В этом выражении (i=1,2,…,n)

Поэтому получаем

т.е. инвариантность формы первого дифференциала установлена. Свойства инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила для дифференциалов. Пусть дифференцируемые ф-ии каких-либо переменных, тогда:

1)

2) )

3)

4)

19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных

В случае двух переменных условие дифференцируемости можно продемонстрировать геометрически.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Плоскость П, проходящая через точку наз касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку и любую точку поверхности стремится к 0, когда точка стремится к . Если в точке сущ касательная плоскость, то касательная в точке к любой кривой, расположенной на поверхности и проходящей через точку лежит в указанной плоскости. Покажем, что из условия диф-сти ф-ии в точке вытекает существование касательной плоскости к графику этой ф-ии в точке . Пусть , , , где . Условие дифференцируемости ф-ии имеет вид , где A и В постоянные равные частным производным и в точке .

, B , - б.м. при , ф-ии . Рассм след ур-е . Из аналитической геометрии известно, что это ур-е определяет в декартовой системе коор-т некоторую плоскость, проходящую через точку и имеющую нормальный вектор . Покажем, что эта плоскость явл касательной плоскостью в точке поверхности . Действительно, эта плоскость проходит через точку поверхности. Угол между нормальным вектором и любой секущей , когда точка поверхности стремиться к точке . Для этого найдем косинус

Найдем коор-ты вектора . Еесли точка , то . Поэтому . Поэтому из условия дифференцируемости ф-ии следует . Поэтому , когда

Т.о. дифференцируемость ф-ии в точке с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику ф-ии в точке . Т.к. коэф-ты А и В равны соотв-но частным производным ф-ии , вычисляемым в точке , то ур-е касательной плоскости может быть записана в виде +

Нормальный вектор наз нормалью к поверхности в точке . Ур-я нормали имеют вид .