Анализ одной выборки

Анализ однородности выборки. Одним из важных вопросов, возникающих при анализе выборки, является вопрос: относится та или иная варианта к данной ста­тистической совокупности? Решение вопроса не представляет сложности, если распределение в этой совокупности является нормальным. Для этого достаточно использовать правило трех сигм. Согласно этому правилу в пределах М ± 3σ на­ходится 99,7% всех вариант. Поэтому если варианта попадает в этот интервал, то она считается принадлежащей к данной совокупности. Если не попадает, то она может быть отброшена. Хотя этот метод и предполагает нормальность исходного распределения, на практике он успешно работает и может быть использован в боль­шинстве других случаев.

При числе элементов в выборке п < 30 способ более точного определения границ доверительного интервала рассчитан по формуле

, (39)

где М – среднее значение;

s – стан­дартное отклонение;

t_n,p – табличное значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы п и доверительной вероятностью р.

Построение доверительных интервалов для среднего. Еще одной важной зада­чей, возникающей при анализе одной выборки, является сравнение выборочного среднего арифметического со средним значением генеральной совокупности. Эта задача решается с помощью статистических критериев. При этом выясняется, зна­чимо ли отличие выборочного среднего значения от среднего значения генераль­ной совокупности, из которой предположительно взята выборка, или наблюдае­мое различие является случайным.

Действительно, средние значения, получаемые по выборочным данным, обычно не совпадают с генеральным средним (математическим ожиданием). В связи с этим возникает вопрос: можно ли по результатам выборочной оценки судить о свой­ствах всей генеральной совокупности?

Поскольку каждую оценку, полученную в отдельной выборке, можно рассматри­вать как случайную величину, то при увеличении числа выборок распределение отдельных оценок будет принимать характер нормального распределения. Это зна­чит, что в случае средних арифметических значения выборочных средних относи­тельно генерального среднего распределяются по нормальному закону, то есть так же как относительные отклонения нормально распределенных вариант от среднего арифметического выборки.

Отсюда, в частности, следует, что 68,3% всех выборочных средних находятся в пре­делах ∆ = М ± т, где ∆ – предельная ошибка выборки, М – среднее выборочное, m – стандартное отклонение среднего значения. Иными словами, имеется вероятность 0,683, что выборочное среднее отличается от генерального не более, чем на ±m. Здесь 0,683 – доверительная вероятность,

1 – 0,683 = 0,317 – уровень значимости α, ∆ = М ± т – 68%-ный доверительный интервал.

Для принятой в большинстве исследований доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для средних при достаточно большом числе наблюдений (n > 30) примерно равен ±2т. При доверительной вероятности 0,99, доверительный интервал составит примерно ±3т. Для более точного определения границ доверительного интервала можно воспользоваться формулой

, (40)

где М – среднее значение;

s – стандартное отклонение;

t_n,p – табличное значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы п и доверительной вероят­ностью p;

п – количество элементов в выборке.

В MS Excel для более точного вычисления границ доверительного интервала и при числе элементов в выборке п < 30 можно воспользоваться функцией ДОВЕРИТ или процедурой Описательная статистика.

Функция ДОВЕРИТ (альфа;станд_откл;размер) определяет полуширину довери­тельного интервала и содержит следующие параметры:

• Альфа – уровень значимости, используемый для вычисления доверительной вероятности. Доверительная вероятность равняется 100*(1 – альфа) % процен­там, или, другими словами, альфа, равное 0,05, означает 95%-ный уровень дове­рительной вероятности;

• Станд_откл – стандартное отклонение генеральной совокупности для интер­вала данных, предполагается известным;

• Размер – это размер выборки.

Пример 1. Найти границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения, если у 25 телефонных аккумуляторов среднее время разряда в режиме ожидания составило 140 часов, а стандартное отклонение — 2,5 часа.

Решение:

1. Откройте новую рабочую таблицу. Установите табличный курсор в ячейку А1.

2. Для определения границ доверительного интервала необходимо на панели ин­струментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ДОВЕРИТ, после чего нажмите кнопку ОК.

Рис. 36. Пример заполнения диалогового окна ДОВЕРИТ

3. В рабочие поля появившегося диалогового окна ДОВЕРИТ с клавиатуры введите условия задачи: Альфа равна 0,05; Станд_откл – 2,5; Размер – 25 (рис. 36). Нажми­те кнопку ОК.

4. В ячейке А1 появится полуширина 95%-ного доверительного интервала для среднего значения выборки – 0,979981. Другими словами, с 95%-ным уровнем надежности можно утверждать, что средняя продолжительность разряда акку­мулятора составляет 140 ± 0,979981 часа, или от 139,02 до 140,98 часа.