6.4. Регрессионный анализ

Регрессия используется для анализа воздействия на отдель­ную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. Соответственно, наряду с корреляционным анализом еще одним инструментом изучения стохастических зависимостей является регрессионный анализ. Регрессионный анализ устанавливает формы зависимости между случайной ве­личиной Y (зависимой) и значениями одной или нескольких переменных величин (независимых), причем значения последних считаются точно заданными. Такая зависимость обычно определяется некоторой математической моделью (уравне­нием регрессии), содержащей несколько неизвестных параметров. В ходе регрес­сионного анализа на основании выборочных данных находят оценки этих пара­метров, определяются статистические ошибки оценок или границы доверительных интервалов и проверяется соответствие (адекватность) принятой математической модели экспериментальным данным.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами пред­полагается линейной. В самом простом случае в линейной регрессионной модели имеются две переменные X и Y. И требуется по п парам наблюдений (Χ₁,Υ₁), (Х₂, Y₂), ...,(X_n, Υ_n) построить (подобрать) прямую линию, называемую линией рег­рессии, которая «наилучшим образом» приближает наблюдаемые значения. Урав­нение этой линии Y = аХ + b является регрессионным уравнением. С помощью регрессионного уравнения можно предсказать ожидаемое значение зависимой ве­личины Y₀, соответствующее заданному значению независимой переменной Х₀.

Таким образом, линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика и его уравнения для набора наблюдений. В регрессионном ана­лизе все признаки (переменные), входящие в уравнение, должны иметь непрерыв­ную, а не дискретную природу.

В случае, когда рассматривается зависимость между одной зависимой переменной Y и несколькими независимыми X₁, X₂, ..., Х_n, говорят о множественной линейной регрессии. В этом случае регрессионное уравнение имеет вид

Y = а₀+ а₁Х₁ +a₂X₂ ... + а_пХ_n,

где а_1, а₂, …, a_n – требующие определения коэффициенты при независимых пере­менных X₁, X₂, ..., Х_n;

а₀ – константа.

Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детермина­ции R² (R-квадрат). Коэффициент детерминации (R-квадрат) определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение описывает (аппроксими­рует) исходные данные.

Исследуется также значимость регрессионной модели с помощью F- критерия (Фишера). Если величина F-критерия значима (р < 0,05), то регрессионная модель является значимой.

Достоверность отличия коэффициентов а₀, a₁, а₂ ..., а_n от нуля проверяется с помощью критерия Стьюдента. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым, а это означает, что влияние соответствующей независимой переменной на зависимую переменную недостоверно, и эта независимая переменная может быть исключена из уравнения.

В MS Excel экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением до 16-го порядка:

Y= а₀ + а₁Х₁ + a₂X₂ + a₁₆X₁₆,

где Y – зависимая переменная, Х₁, ..., Х₁₆ – независимые переменные, а₀, а₁, …, a₁₆ – искомые коэффициенты регрессии.

Для получения коэффициентов регрессии используется процедура Регрессия из Пакета анализа. Кроме того, могут быть использованы функция ЛИНЕЙН для получения параметров регрессионного уравнения и функция ТЕНДЕНЦИЯ для получения предсказанных значений Y требуемых точках.

Для реализации процедуры Регрессия необходимо:

• выполнить команду Сервис → Анализ данных;

• в появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать строку Регрессия, указав курсором мыши и щелкнув левой кнопкой мыши. Затем нажать кнопку ОК;

• в появившемся диалоговом окне задать Входной интервал Y, то есть ввести ссыл­ку на диапазон анализируемых зависимых данных, содержащий один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю ячейку столб­ца зависимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

• указать Входной интервал X, то есть ввести ссылку на диапазон независимых данных, содержащий до 16 столбцов анализируемых данных. Для этого следует навести указатель мыши на поле ввода Входной интервал X и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем навести указатель мыши на верхнюю левую ячейку диа­пазона независимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней правой ячейке, содержащей анализируе­мые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

• указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить переключатель в положение Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верх­нюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши (рис. 41). Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные;

• если необходимо визуально проверить отличие экспериментальных точек от предсказанных по регрессионной модели, следует установить флажок в поле График подбора;

• нажать кнопку ОК.

Рис. 41. Пример заполнения диалогового окна Регрессия

Результаты анализа. Выходной диапазон будет включать в себя результаты дис­персионного анализа, коэффициенты регрессии, стандартную погрешность вычис­ления Y, среднеквадратичные отклонения, число наблюдений, стандартные погреш­ности для коэффициентов.

Интерпретация результатов. Значения коэффициентов регрессии находятся в столбце Коэффициенты и соответствуют:

• Y-пересечение – a₀;

• переменная X1 – а₁;

• переменная X2 – a₂ и т.д.

В столбце Р-Значение приводится достоверность отличия соответствующих коэф­фициентов от нуля. В случаях, когда Р > 0,05, коэффициент может считаться ну­левым, что означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную.

Приводимое значение R-квадрат (коэффициент детерминации) определяет, с ка­кой степенью точности полученное регрессионное уравнение аппроксимирует исходные данные. Если R-квадрат > 0,95, говорят о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление). Если R-квадрат лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят об удовлетворительной аппроксимации (модель в целом адекват­на описываемому явлению). Если R-квадрат < 0,6, принято считать, что точность аппроксимации недостаточна, и модель требует улучшения (введения новых неза­висимых переменных, учета нелинейностей и т. д.).

Пример 10. В отделе снабжения агрохолдинга имеется информация об изменении стоимости удобрений за длительный период времени. Сопоставляя его с изменениями курса доллара за этот же период времени, можно построить рег­рессионное уравнение. Ниже приведены стоимость одной тонны удобрений (в тыс. руб.) и соответствующий курс доллара (руб/USD).

№ п/п	Удобрения	Курс
1	5	6,3
2	7	9
3	9	12
4	12	15
5	15	19
6	16	21
7	20	25
8	25	29,3

Необходимо на основании этих данных построить регрессионное уравнение, по­зволяющее по курсу доллара определять предполагаемую стоимость одной тонны удобрений.

Решение:

1. Введите данные в рабочую таблицу: стоимость пачки порошка – в диапазон А1:А8; курс доллара – в диапазон В1:В8 (заметим, что знаку запятой, отделяющей целую часть от дробной, соответствует «запятая»).

2. В пункте меню Сервис выберите строку Анализ данных и далее укажите курсо­ром мыши на строку Регрессия.

3. В появившемся диалоговом окне (рис. 10) задайте Входной интервал Y. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных (А1), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (А8), затем отпустите левую кнопку мыши (обратите внима­ние, что зависимые данные – это те данные, которые предполагается вычис­лять).

4. Также укажите Входной интервал X, то есть введите ссылку на диапазон неза­висимых данных В1:В8 (независимые данные – это те данные, которые будут измеряться или наблюдаться).

5. Установите флажок в поле График подбора.

6. Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в поло­жение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кноп­кой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и, щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (С1). Щелкните левой кнопкой мыши (рис. 41). Нажмите кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходном диапазоне появятся следующие результаты и гра­фик подбора (рис. 42).

Рис. 42. Результаты анализа и график соответствия экспериментальных точек и предсказанных по регрессионной модели из примера 10

Интерпретация результатов. В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели: ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера – р, который должен быть меньше, чем 0,05 (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере – 1,58Е-07 (0,000000158), то есть р = 0,000000158 и мо­дель значима) и степень точности описания моделью процесса R-квадрат (вто­рая строка сверху в таблице Регрессионная статистика, в примере R-квадрат = 0,992). Поскольку R-квадрат > 0,95, можно говорить о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление (рис. 42).

Далее необходимо определить значения коэффициентов модели. Они определя­ются из таблицы в столбце Коэффициенты – в строке Y-пересечение приводится сво­бодный член; в строках соответствующих переменных приводятся значения коэффициентов при этих переменных. В столбце р-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым. Это означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную, и коэффициент может быть убран из уравнения.

Отсюда выражение для определения стоимости пачки порошка в рублях будет иметь следующий вид: -0,83 + 0,847*(Курс доллара, руб./USD). Полученная модель с высокой точностью позволяет определять стоимость пачки стирального порошка (R² = 99,2%).

Воспользовавшись полученным уравнением, можно рассчитать ожидаемую стоимость пачки стирального порошка при изменениях курса доллара. Например, для расчета при курсе доллара 35 руб/USD необходимо поставить табличный курсор в любую свободную ячейку (А10); ввести с клавиатуры знак =, щелкнуть указателем мыши по ячейке D17, ввести с клавиатуры знак +, щелкнуть по ячейке D18, ввести с клавиатуры знак * и число 35. В результате в ячейке А10 будет получена ожидаемая стоимость пачки порошка 28,8 руб.