9. Расчет собственных частот и форм колебаний фермы

9.1 Введение

Механическая система, выведенная из состояния устойчивого равновесия, при отсутствии в дальнейшем внешних воздействий совершает свободные колебания. Эти колебания совершаются с определенными частотами, которые называются собственными частотами. Например, для простейшей механической системы–линейного осциллятора, свободное движение которой описывается уравнением

будет , где –собственная частота системы. Константы A и B могут быть определены из начальных условий.

Особенностью систем с непрерывно распределенной массой является бесконечное число степеней свободы, а следовательно, и бесконечное число собственных частот колебаний. С математической точки зрения это различие следует из того, что движение систем с распределенными параметрами описывается уравнениями в частных производных, а не обыкновенными дифференциальными уравнениями, как это имеет место для систем с конечным числом степеней свободы. Например, поперечные колебания балки постоянного сечения описываются уравнением

где EJ–изгибная жесткость балки, m–масса на единицу длины, u(x,t)–прогиб. Используя метод разделения переменных, ищем решение этого уравнения в виде . Исходное уравнение преобразуется к виду

Т.к. в левой части этого равенства стоит функция только времени, а в правой–только координаты, то для его выполнения необходимо, чтобы обе части равенства были константами; это дает нам два уравнения:

(1)

Видим, что введенный (пока неизвестный) параметр p по своему смыслу является частотой. Параметр p находится с использованием граничных условий из условия существования ненулевого решения уравнения для X. Для балки, оба конца которой шарнирно оперты граничные условия следующие

Откуда

(2)

Общее решение второго уравнения (1) следующее

Условия (2) дают однородную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения C_k. Условием существования у этой системы нетривиального (отличного от нуля) решения является равенство нулю определителя этой системы. Из требования равенства нулю определителя системы находим значения собственных частот:

(3)

Как того и следовало ожидать, число собственных частот в этой задаче бесконечно.

Для более сложных систем, в частности для тех, что исследуются в данной работе, значения собственных частот можно найти, по-видимому, только численно.

9.2 Задание

Найти значения первых пяти собственных частот фермы. Сравнить полученные значения с частотами балки с приведенными характеристиками (3). Для такого сравнения необходимо определить характеристики балки: погонную плотность m и жесткость EJ. Плотность предлагается определить как отношение полной массы фермы к ее длине.

Для определения жесткости балки предлагается решить вспомогательную задачу о статическом нагружении фермы сосредоточенной единичной силой. Из этой задачи находится прогиб фермы в ее середине, после чего по известной из курса сопромата формуле для прогиба балки вычисляется ее жесткость.

Новые операции, используемые в работе

1. Задание дополнительных настроек для КЭ (Real Constants)

2. Настройка решателя для расчета собственных частот (тип задачи Modal).

9.3 Требования к отчету по работе

В отчете следует представить

1. значения собственных частот фермы

2. изображения первых двух собственных форм.

3. параметры балки (жесткость на изгиб и массу на единицу длины), с частотами которой сравниваются частоты фермы.

4. значения частот балки

В выводах следует попытаться объяснить различия между значениями найденных численно частот фермы и значениями частот балки.

9.4 Порядок проведения работы

Решение подготовительной статической задачи

Шаг 1. Создание геометрии. Нарисуйте предложенную ферму (это вы умеете делать).

Шаг 2. Определение материала. Создайте линейный упругий материал, задав модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Так как задача динамическая, то необходимо задать плотность:

Material Props  Material Models  Structural  Density.

Шаг 3. Добавление конечного элемента. Выберите балочный элемент LINK1. Для этого элемента требуются дополнительные параметры: площадь сечения балки и начальное растяжение. Их следует задать в PreprocessorReal ConstantsAdd/Edit/DeleteAdd. Ввести площадь поперечного сечения (AREA) и равное нулю начальное растяжение.

Шаг 4. Создание сетки. Установите на всех линиях число элементов, равное 1. Создайте сетку (все это вам должно быть известно).

Шаг 5. Задание граничных условий. На одном конце фермы закрепите точку в обоих направлениях, на другом — только вдоль оси y (чтобы исключить растяжение). В одной из средних точек задайте единичную силу вдоль оси y.

Шаг 6. Решение задачи

Шаг 7. Определение прогиба. Включите отображение нумерации узлов: Utility Menu  PlotCtrls  Numbering. Установите флаг Node Numbers. Выведите на экран таблицу прогибов в узлах General Postproc  List Results  Nodal Solution.