Свойства коэффициента корреляции r.

Они проявляются при достаточно большом объеме вы­борки п.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на от­резке - 1 r 1.

В зависимости от того, насколько при­ближается к 1, различают связи:

► r < 0,3 — слабая связь;

► r = 0,3 - 0,5— умеренная связь;

►r = 0,5 - 0,7 — заметная (значительная);

►r = 0,7 - 0,8—достаточно тесная;

►r = 0,8 - 0,9 — тесная (сильная);

►r > 0,9 — очень сильная, то есть чем ближе к 1, тем теснее связь.

2. При r = 1 — функциональная зависимость у = f (х).

3. Чем ближе к 0, тем слабее связь.

4. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

5. — случайные переменные симметричные;

x и у могут взаимозаменяться, не влияя на величину r.

♦ Задача 8.1.

Построить корреляционное поле точек и вычислить ко­эффициент корреляции между ростом (X) и массой (У) не­которых животных. Исходные данные приведены в выбор­ке объема n = 10.

	31	32	33	34	35	35	40	41	42	46
	7,8	8,3	7,6	9,1	9,6	9,8	11,8	12,1	14,7	13,0

Решение:

Средний рост :

, = = =36,9.

Средняя масса :

= , = =10,38.

Находим:

= (31 – 36,9)(7,8 – 10,38) + …+ (46 – 36,9)(13 – 10,38)=99,9;

= (31 – 36,9) + (32 – 36,9) +…+ (46 – 36,9) =224,8;

= (7,8 – 10,38) + (8,3 – 10,38) + …+ (13,0 – 10,38) =51,9.

Подставим полученные значения в формулу для r:

=0,925.

Величина r близка к 1, это говорит о тесной связи роста и массы.

8.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции

Это ответ на вопрос: существует ли вообще эта связь. Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего генерального параметра. Выборочный коэффициент линей­ной корреляции r_в—величина случайная, так как он вычис­ляется по значениям переменных, случайно попавшим в выборку из генеральной совокупности, а значит, как и лю­бая случайная величина, имеет ошибку т_r.

Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины Х и Y генеральной совокупности в линейной корреляционной зависимости, надо проверить значимость r_в. Для этого про­веряют нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности Н_о: = 0, то есть линейная корреляционная связь между признаками X и Y случайна. Выдвигается альтернативная гипотеза Н₁: r_ген 0, то есть эта линейная корреляционная связь имеется. Задает­ся уровень значимости, например, 0,05.

Критерием для проверки нулевой гипотезы является от­ношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке:

,

где m_r — ошибка коэффициента корреляции.

Если объем выборки п < 100, то m_r = ;

если объем выборки п > 100, то т_r = .

Число степеней свободы для проверки критерия равно f = n – 2. Гипотезу проверяют по таблицам распределения Стьюдента в соответствии с выбранным уровнем значи­мости.

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t_крит ( ,f , определенное на уровне значимости а < 0,05 при числе степеней свободы f = п - 2, где п — объем двумерной выборки.

Если t_набл > t_крит = Н — отвергают нулевую гипотезу и принимают альтернативную: r_ген 0, имеется линейная корреляционная связь между признаками.

Если t_набл < t_крит — то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, а r_е статистически незначим. Эта связь случайна.

♦ Задача 8.2.

Проверить значимость коэффициента корреляции r= 0,74 между переменными X и Y для выборки объема п = 50.

Решение:

Проверяется нулевая гипотеза H₀ об отсутствии линей­ной корреляционной связи между переменными X и Y в ге­неральной совокупности H₀; r_ген = 0.

При справедливости этой гипотезы t_набл= , где ошибка коэффициента корреляции т_r = и t_набл= имеют распределение Стьюдента с f = п – 2 степенями сво­боды.

Рассчитаем: t_набл= =7,62.

По таблицам находим табличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости 0,05 и при чис­ле степеней свободы f= 50 – 2 = 48, t_крит( 0,05; 48) = 2,02.

Поскольку t_набл > t_крит, 7,62 > 2,02, коэффициент корреля­ции значимо отличается от нуля.

Причем это справедливо и для уровня значимости: 0,001(t=3,55).