8.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов

Задача регрессионного анализа состоит в подборе упрощенной аппроксимации связи с помощью математической модели.

Регрессионный анализ имеет в своем распоряжении спе­циальные процедуры проверки, является ли выбранная математическая модель адекватной для описания имеющих­ся данных.

Чаще всего регрессионный анализ используется для прогноза, то есть предсказания значений ряда зависимых пере­менных по известным значением других переменных.

Выше указывалось, что результаты наблюдений, приве­денные в двумерной выборке:

можно представить в виде корреляционного поля точек (рис. 8.3), где каждая точка соответствует отдельным значе­ниям х и у.

y

Наблюдаемое значение

y

Отклонение

y –

Оценка или должное значение у

Оценка или

должное

значение y

0

x

Рис. 8.3. Метод наименьших квадратов

В результате получается диаграмма рассеяния, позволя­ющая судить о форме и тесноте связи между варьирующи­ми признаками. Довольно часто эта связь может быть апп­роксимирована прямой линией (рис. 8.3).

Регрессия — это функция, позволяющая по величине од­ного признака X

находить среднее ожидаемое (должное) зна­чение другого признака Y, корреляционно связанного с X.

В линейной математической модели уравнение линей­ной регрессии имеет вид;

=ax + b,

где а и b — параметры линейной регрессии;

а — это коэффициент регрессии, показывающий, насколь­ко в среднем величина одного признака Y изменяется при изменении на единицу меры другого признака X, корре­ляционно связанного с Y. Чем больше а — угловой коэффициент прямой а = tg , тем круче прямая, то есть быстрее изменяется Y.

b — свободный член в уравнении, определяет при х = 0.

— это предсказанное (должное) значение Y для дан­ного х при определенных значениях регрессионных па­раметров.

Параметры линейной регрессии определяют методом наименьших квадратов — это способ подбора параметров регрессионной модели, согласно которому сумма квадра­тов отклонений вариант от линии регрессии должна быть

минимальна:

Это эффективный метод, позволяющий уменьшить вли­яние ошибок измерений.

Теперь определяют должные величины , наносят эти точки и соединяют их прямой линией.

Достоинство корреляционно – регрессионного анализа— наглядное представление о форме и тесноте связи. Регрес­сия выражает корреляционную зависимость в виде функци­онального отношения и дает более полную информацию.

Задача 8.3.

Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в следующей таблице:

X	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115
Y	14	18	19	20	23	23	24	26	29	34

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное

уравнение прямой регрессии Y на Х.

Р ешение: Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную

таблицу, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из этих столбцов вычислены суммы для нахождения средних х_В и у_В. Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности х_i – х_В и у_i – у_В, их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются, чтобы получить величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности х_i – х_В и у_i – у_В будут всегда равны 0.

N	xi	yi	xi - xB	(xi - xB)2	yi - yB	(yi - yB)2	(xi-xB)( yi-yB)
1	25	14	-45	2025	-9	81	405
2	35	18	-35	1225	-5	25	175
3	45	19	-25	625	-4	16	100
4	55	20	-15	225	-3	9	045
5	65	23	-5	25	0	0	0
6	75	23	5	25	0	0	0
7	85	24	15	225	1	1	15
8	95	26	25	625	3	9	75
9	105	29	35	1225	6	36	210
10	115	34	45	2025	11	121	495
	700	230	0	8250	0	298	1520

Находим средние х_В и у_В:

х_B = = 70,у_B = = 23

Из таблицы имеем

 (х_i - x_B)(y_i - у_B) = 1520,  (x_i – х_B)² = 8250,  (y_i – у_B)² = 298

Подставляя эти значения в формулу для вычисления коэффициента корреляции, получим

r _B =  0,97

Вывод:

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная прямая корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдём теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. Это

уравнение имеет вид:

y – y_B = r_B   (x - x_B) , где - коэффициент регрессии, отражающий интенсивность изменения результативного признака у при изменении х.

	Коэффициент регрессии b является величиной с конкретной размерностью и измеряется в тех же единицах признака у.

За приближённые значения _x и _y принимают соответственно

 _x  _y 

Тогда

=

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х

x _B = 70, y_B = 23, r_B = 0,97, = 0,19

получим у - 23 = 0,97  0,19(x -70) или у - 23 = 0,18х - 12,6.

Вывод:

Окончательно, у = 0,18x + 10,4 - искомое уравнение прямой регрессии Y на Х (рис. 1 ) .

Таким образом, коэффициент регрессии b = 0,18 показывает, что при изменении длины ствола на 1 см. длина ствола без ветвей изменится в среднем на 0,18 см.

Рис. 1

Эмпирическая линия распределения и линия регрессии.