5. 2. 1. Закон распределения случайной величины

Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически ( в виде формулы) и графически.

_{Таблица – это простейшая форма задания закона распределения. В ней перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X и соответствующие вероятности. Эта таблица}

X1	X2	…	Xn
P1	P2	…	Рn

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие их вероятности. Соединение образуют ломаную линию. Это многоугольник или полигон распределения вероятностей.

Рис. 5.1. Полигон распределения вероятностей

Задача 5.22

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

А)

Xl	2	3	4	5
Pl	0,1	0,4	0,3	0,2

Xl	6	7	8	9
Pl	0,1	0,2	0,3	0,4

Б)

А) Да, так как выполняется условие ∑ p = 1 : 0,1+0,4+0,3+0,2=1

Б) Нет: 0.1+0.2+0.3+0.5≠1

Задача 5.23

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по физике, равна 0,7, а по химии – 0,9. Составьте закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Построить многоугольник распределения вероятностей.

Решение:

Возможные значения X- число сданных экзаменов: 0, 1, 2.

Считаем вероятности:

P(X=0) = Р( Ā₁ ) · Р( Ā₂ ) = (1 - 0,7) · (1 – 0,9) = 0.3 ·0,1 = 0,03;

Р(X=1) = Р( А₁ Ā₂+Ā₁ А₂ ) = Р( А₁ ) Р( Ā₂ )+Р( Ā₁ ) Р( А₂ ) = 0,7·0.1+0,3·0,9 = 0,34.

Р(X=2) = Р( А₁ А₂) = Р(А₁) · Р(А₂) = 0,7·0,9 = 0,63.

Хl	0	1	2
Рl	0,03	0,34	0,63

Ряд распределения имеет вид:

Контроль: 0,03+0,34+0,63 = 1.

5.2.2. Функция распределения случайных величин

Функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X: F(х)= P(X<х). Ее также называют интегральной функцией распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Задача 5.24

Дан ряд распределения случайной величины:

Хl	1	4	5	7
Pl	0,4	0,2	0,2	0,2

Найти и изобразить график ее функции распределения.

Решение.

1. Если х₁ <1 , F(х)=0.

2. Пусть 1<х≤4, (например х = 2), F(х)=P(х=1)=0,4

3.Пусть 4<х≤5, (например х=4,25),

F(х)=P(X<х)=P(х=4)=0,4+0,2=0,6.

4. Пусть 5<х≤7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5)=0,6+0,2=0,8.

5. пусть х>7, F(х)=(P(х=1)+P(х=4)+P(х=5) +Р(х=7)=0,8+0,2=1.

Рис. 5.2 Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.