§ 18. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору ^' и главному моменту М₀ относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О

М_о = _o( _i). (а)

Было показано, что можно выбрать центр приведения (на рис. 20 точка С), относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей , равной по модулю главному вектору (R = R’). Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем

М_о( ) = R*OC =R = М_о. (б)

Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим

М_о( ) = _o( _i). (19)

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

§ 19. Уравнение равновесия плоской системы сил

Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости, как показано выше, имеет вид:

^' = 0;

М_о = _o( _i) = 0. (20)

Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор ^' представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси х и у сокращенные обозначения и , получим для величины главного вектора выражение

R^' = .

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю; при соблюдении этого условия получим:

= 0; = 0

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, т.е.

_o( _i) = 0.

В дальнейшем для уравнений равновесия при решении задач будем применять более компактную форму записи: вместо = 0 будем писать = 0 ; вместо _o( _i) = 0 будем писать _o = 0.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая – основная форма этих уравнений – выведена выше:

= 0; = 0; _o = 0. (21)

Зачастую при решении задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия.

Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия:

_А = 0; _В = 0; _С = 0. (22)

Это вторая форма уравнений равновесий. Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:

_А = 0; _В = 0; = 0. (23)

При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.

Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую – перпендикулярной к ним, получим существенные упрощения (рис. 21).

Рис. 21

Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:

= 0; _o = 0. (24)

Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:

_А = 0; _В = 0. (25)

Итак, для произвольной плоской системы сил имеем уравнения равновесия; а для плоской системы параллельных сил – только две. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил – не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.

Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.