§ 13. Эквивалентность пар

По аналогии с определением эквивалентных систем сил, две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т.е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения пар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять величины сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Заменим пару сил ^' с плечом а (рис. 12, а) новой парой ^' с плечом b (рис. 12, б) так, чтобы момент пары остался тем же. Момент заданной пары сил М₁= -Pа. Момент новой пары сил М₂= -Qb. По определению пары сил эквивалентны, т.е. производят одинаковые действия, если их моменты равны.

Рис. 12

Если, изменив величину сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М₁= М₂, или -Pa = -Qb, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Итак, вместо заданной пары с плечом а мы получили эквивалентную пару ^' с плечом b.

§ 14. Сложение пар

Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей.

Сложим две пары, расположенные в одной плоскости.

Имеем пары ₁ ^'₁ и ₂ ^'₂ с плечами а и b (рис. 13), т.е. М₁ = Р₁а; М₂ =- Р₂b.

Преобразуем данные пары так, чтобы их плечи были равны при сохранении величин их моментов. Некоторый отрезок АВ = с примем за общее плечо преобразованных пар. Обозначим ₁, ^'₁ , и ₂, ^'₂ силы эквивалентных пар, тогда

М₁ = Р₁а = Q₁c; М₂ = - Р₂b = - Q₂c.

Рис. 13

Складывая силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие:

R ^'=Q₁^'- Q₂^';

(a)

R=Q₁ - Q₂.

Равнодействующие и ^', равные по величине и направленные в противоположные стороны, образуют пару сил ^', момент которой

М = Rc. (б)

Пара ^' представляет собой результирующую пару.

Подставив в уравнение (б) значение R из уравнения (а), получим

М = Rc = (Q₁ – Q₂)c = Q₁с – Q₂c,

А так как М₂ = - Q₂c и М₁ = Q₁c, то М = М₁ + М₂.

Таким образом, приходим к заключению, что момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Это же доказательство применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле

М = М₁ + М₂ + . . . + М_п = М (13)

На основании приведенного правила сложения пар, устанавливается условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

М = М_i = 0. (14)