§ 8. Проекция векторной суммы на ось

Рассмотрим сходящиеся силы , , , , , (рис. 9, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил определяется замыкающей стороной = силового многоугольника (рис. 9, б)

= = + + + + + .

Спроектируем все вершины силового многоугольника ABCDEKL на ось x и обозначим их проекции соответственно a, b, c, d, e, k, l. Проекции сил на ось x изображаются отрезками:

P_1x = ab; P_2x = bc; P_3x = cd;

P_4x = −de; P_5x = ek; P_6x = kl.

Рис. 9

Сумму проекций можно представить в следующем виде:

= P_1x + P_2x + P_3x + … + P_6x =ab + bc + cd − de + ek +kl = al.

Так как al есть проекция равнодействующей силы на ось x, т. е. al = R_x , то

R_x = P_1x + P_2x + P_3x + … + P_6x , (7)

или R_x = _,

где n – число слагаемых векторов.

Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось и равна проекции равнодействующего вектора. В плоскости геометрическую сумму сил можно спроектировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

§ 9. Аналитическое определение величины и направления равнодействующей плоской системы сходящихся сил (метод проекций)

В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Рассмотрим её определение на примере системы сил , , , изображённой на рис.10, а. Равнодействующая этих сходящихся сил построена на рис.10, б:

= + + .

Рис. 10

Проектируя все силы на оси Ox и Oy и используя теорему о проекции векторной суммы (см. § 8), получаем:

R_x = P_1x + P_2x + P_3x = _;

R_y = P_1y + P_2y + P_3y = .

Модуль равнодействующей силы R через её проекции определяется по формуле

R = . (8)

Подставив в уравнение (8) значение проекций R_x и R_y , найдём

R = . (9)

Направление определим по косинусам углов, которые эта сила образует с координатными осями:

(10)

§ 10. Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

Как было показано в § 6, сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Величина равнодействующей при этом равна нулю (R = 0).

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляющих сил на те же оси, т. е.

(11)

Модуль равнодействующей определится по формуле (9). Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведённые в квадрат. Поэтому R = 0 только при выполнении условий

(12)

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций её слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Формулы (12) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.