3. Медіана варіаційного ряду

Варіаційний ряд завжди має єдину медіану, значення якої може бути або не бути одним з можливих значень відповідної ознаки.

Медіаною з. в. р. у₁, у₂, …, у_п називається число Ме, яке ділить останній на дві рівні за обсягом частини.

З означення медіани з. в. р. витікає:

• якщо п=2k+1 – непарне число ( ), то Ме=у_k+1;

• якщо п=2k – парне число, то Ме=(у_k+у_k+1)/2.

При цьому очевидно, що якщо з. в. р. побудований для дискретної ознаки, то для парного числа п медіана не є однією з варіант даного з.в.р. В інших випадках медіана є однією з варіант даного з.в.р.

Медіана з. в. р. має важливу властивість: сума модулів відхилень варіант від медіани менша, ніж від будь-якого іншого числа:

.

Медіаною д. в. р. називається медіана відповідного з. в. р.

Для знаходження медіани д. в. р. спочатку необхідно для кожної його варіанти х_k обчислити її накопичену (або кумулятивну) частоту S_k (частку T_k):

. (1.5)

При цьому можливі такі два випадки:

1. Для жодної з варіант S_k≠п/2 (T_k ≠1/2). Тоді медіаною д. в. р. буде перша з варіант х_k, для яких S_k >п/2 (T_k >1/2).

2. Для деякої k-ї варіанти S_k=п/2 (T_k=1/2). Очевидно, що це можливо тільки у випадку, коли n=2l – парне число (lєN). Тоді Ме = (х_k+x_k+1)/2.

Медіаною і. в. р. називається таке число Ме, для якого вертикальна пряма, що проходить через точку х=Ме, ділить гістограму частот або часток даного і. в. р. на дві рівновеликі частини.

Для знаходження медіани і. в. р. спочатку необхідно для кожного k-го його інтервалу обчислити накопичену (або кумулятивну) частоту S_k (частку T_k) за формулою (1.5). Після цього знаходять медіанний інтервал, яким буде перший з інтервалів, для яких S_k>п/2 (T_k>1/2). Тоді медіана і. в. р. обчислюється за формулою:

, (1.6)

де х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу, f_Me (w_Me) – частота (частка) медіанного інтервалу, S_Me-1 (T_Me-1) – накопичена частота (частка) інтервалу перед медіанним.

Медіану з. в. р., д. в. р. , або і. в. р. можна вважати статистичним аналогом і точковою оцінкою медіани генеральної сукупності, з якої вибрана статистична сукупність, для якої побудовано відповідно з. в. р., д. в. р. або і. в. р. 

3.2. Характеристики варіації ознаки у варіаційних рядах

Характеристиками варіації ознаки у варіаційних рядах є розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, середнє лінійне відхилення, квадратичний коефіцієнт варіації, лінійний коефіцієнт варіації, коефіцієнт осциляції. Останні три характеристики є відносними величинами і можуть виражатись відношенням або у відсотках. Означення і спосіб знаходження характеристик залежить від типу варіаційного ряду: з. в. р., д. в. р. чи і. в. р.

Кожна із числових характеристик варіації може розглядатись як статистичний аналог і точкова оцінки відповідної числової характеристики генеральної сукупності, з якої вибрана статистична сукупність, що згрупована у даний варіаційний ряд.

Розмахом варіації з. в. р. і д. в. р. називається різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіант відповідно у_і (і= ) та х_k (k= ):

R_у = y_n – y₁; R_х = x_m – x₁.

Розмахом варіації і. в. р. називається різниця між правою межею останнього (т-го) і лівою межею першого інтервалів:

. (1.7)

Дисперсією з. в. р. і д. в. р. називається середня квадратів відхилень варіант відповідно у_і (і= ) та х_k (k= ) від середньої відповідно та :

.

Дисперсією і. в. р. називається середня квадратів відхилень середин інтервалів (і= ) від середньої :

. (1.8)

Середнім квадратичним відхиленням варіаційного ряду називається квадратний корінь із дисперсії:

(1.9)

Середнім лінійним відхиленням з. в. р. і д. в. р. називається середня модулів відхилень варіант відповідно у_і (і= ) та х_k (k= ) від середньої відповідно та :

.

Середнім лінійним відхиленням і. в. р. називається середня модулів відхилень середин інтервалів (і= ) від середньої :

. (1.10)

Квадратичним (лінійним) коефіцієнтом варіації варіаційного ряду називається відношення середнього квардатичного (лінійного) відхилення до модуля середньої. Може виражатись відношенням або в процентах:

або . (1.11)

Доведено, що для одного і того ж варіаційного ряду V_d <V_σ; якщо , то розподіл статистичної сукупності має бути близьким до симетричного.

Коефіцієнтом осциляції варіаційного ряду називається відношення розмаху варіації до модуля середньої. Може виражатись відношенням або у процентах:

або .

Величина варіації ознаки в різних рядах розподілу вважається приблизно однаковою, якщо їх відповідні коефіцієнти варіації або осциляції є наближено рівними і навпаки.