10.3. Диференціальне рівняння замкненої системи.

Загальна схема замкненої системи, в якій ланцюг ланок поданий одним блоком, зображена на рис. 10.3. Передатна функція системи

.                                              (1)

 

Рис. 10. 3. Замкнена система

 

Диференціальне рівняння системи легко одержати через зображення за Лапласом вихідної величини y(t):

,                     (2)

де A(s) – многочлен степеню n, B(s) – многочлен степеню m, причому, m£n.

Представимо (2) у вигляді

.                  (3)

Замінивши s на символ диференціювання p=d/dt і зображення Y(s), X(s) часових функцій на самі функції y(t), x(t), з (2) одержимо диференціальне рівняння в такому вигляді:

     (4)

Аналогічним методом можна одержати рівняння для помилки системи e(t). В рівнянні (3) n-порядок рівняння і одночасно порядок математичної моделі системи.

Слід зазначити, що реальна система в цілому і окремі її пристрої не є строго лінійними. Можливість аналізу системи лінійним методом пов’язана з тим, що переважну частину часу автоматичні системи працюють в режимі малих амплітуд з відносно невеликими відхиленнями Dx і Dy їх вхідних і вихідних змінних від повільно змінюваних координат (x₀, y₀) робочої точки. Залежність між малими відхиленнями Dx і Dy (якими фактично є величини x іy в рівняннях системи і її ланок) практично  лінійна для всіх пристроїв крім пристроїв з явно вираженою нелінійністю, наприклад, таких, як реле.  

 

10.4. Матрична форма диференціального рівняння

Тепер покажемо, як одержане диференціальне рівняння n-го порядку представити у вигляді системи n рівнянь першого порядку і як потім одержану систему записати в матричній формі, що спрощує розв’язування рівняння на ЕОМ. Спочатку рівняння системи

   (1)

розв’яжемо відносно старшої похідної, після чого воно прийме такий вигляд:

.     (2)

 

Одержане рівняння можна розв’язати одним з чисельних методів, якщо рівняння n-го порядку представити системою n рівнянь першого порядку з nневідомими y₁, y_{2, …} y_n. Для цього достатньо ввести позначення

,                      (3)

і записати систему n рівнянь в такому вигляді:

..............

.                                                                                                      (4)

Початкові умови для невідомих y₁, y₂, … , y_n тут вважаються нульовими, а члени з x(t) і її похідними відомими.

Матрична форма системи рівнянь (4) має вид

,                                                       (5)

де

 –  - вектор-стовпець похідних y₁¢, y₂¢, … , y_n¢ невідомої фунції ,

А – - матриця коефіцієнтів змінних y₁, y₂, … , y_n,

Y –  - вектор-стовпець невідомих,

В –  - матриця коефіцієнтів керуючої дії і її похідних,

X –  - вектор-стовпець керуючої дії і її похідних.

10.5. Система рівнянь з неформальними змінними стану

Змінні стану y₁, y₂, …, y_n системи n-го порядку, розглянуті в попередньому розділі, назвемо формальними змінними, оскільки вони (за виключенням змінної y_n) в загальному випадку безпосередньо не відображають сигнали на виходах пристроїв, які складають ланцюг ланок системи. Ці змінні (крім y_n) не доступні для вимірювання в натурному експерименті. Більш практичною була б система рівнянь, в якій крім, можливо, деяких формальних змінних були б присутні змінні, які описують реальні сигнали на виходах усіх фізичних пристроїв системи. Такі змінні стану системи назвемо неформальними.

Загальна методика складання системи рівнянь з неформальними змінними зводиться до наступного. Припустимо, що структурна схема автоматичної системи n-го порядку така, як показана на рис.10.4, і вона відповідає фізичній структурі системи.

 

 

Рис. 10. 4. Структурна схема автоматичної системи

 

Кількість ланок . Усі ланки крім і-тої першого порядку. Ланка з номером і має порядок r>1. Вихідні величини ланок – неформальні змінні стану, оскільки можливе спостереження і вимірювання цих змінних. Існує можливість скласти систему n диференціальних рівнянь першого порядку, в якій будуть присутніми k неформальних і  формальних змінних стану. Для цього достатньо скласти рівняння послідовно для кожної ланки. Якщо рівняння і-тої ланки першого порядку, то воно безпосередньо зв’язує  з . Якщо ж рівняння і-тої ланки r-го порядку (як на рис.10.4), то після зведення його до r рівнянь першого порядку одержимо зв’язок  з  не безпосередньо, а через r-1 внутрішніх формальних змінних. У такий спосіб одержимо систему n зв’язаних між собою диференціальних рівнянь першого порядку, які описують автоматичну систему, тобто представляють її математичну модель з участю k неформальних змінних стану, де k – кількість ланок системи.

Покажемо застосування цієї методики на прикладі системи, структурна схема якої приведена на рис.10.5. Це система третього порядку, яка визначається змінними y₁, y₂, y₃.

З передатної функції першої ланки можна записати, що

(T₁×s+1)×Y₁(s) = k₁[X(s)-Y₃(s)],                                   (1)

звідки одержуємо диференціальне рівняння для y₁

.                                        (2)

Рівняння (2), розв’язане відносно похідної y₁, має вигляд:

.                                      (3)

З ПФ другої ланки одержуємо:

.                                                       (4)

З ПФ третьої ланки одержуємо:

.                                                (5)

 

Рис. 10.5.Структурна схема системи регулювання

 

Об’єднавши рівняння (3), (4), (5), одержуємо систему диференціальних рівнянь

                                                                   (6)

.

Матрична форма системи (6) має вид:

                                                     (7)

 де

,   ,   ,     ,     ,    . (8)

Початкові умови для y₁, y₂, y₃ нульові, що випливає з означення передатної функції. Функція x(t) відома.

Система (6) може бути розв’язана одним з чисельних методів. Якщо x(t) =1(t), то результатом розв’язку буде перехідна характеристика не тільки для керованої величини , але і для величин y₁ і y₂, які відображають фізичні величини між пристроями системи.

Задачі

1.     Для структурної схеми системи , показаної на рис.10.6 , визначте передатні функцію Ф(s) і  Ф_e(s) відносно керуючої x(t).

 

Рис. 10.6. Структурна схема замкненої системи

 

2.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6. для її помилки e(t).

3.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6 для керованої дії y(t).

4.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6.для керованої дії y(t) і запишіть його у вигляді системи рівнянь першого порядку.

5.     Систему рівнянь, одержану в задачі 4, запишіть у компактному (матричному) форматі . Запишіть також окремо усі матриці цієї системи.