15.3. Зв’язок перехідної характеристики з частотними

Якщо від зображення перехідної характеристики h(t) по Лапласу

                                               (1)

заміною змінної s на jω перейти до її зображення по Фур’є

,                                                     (2)

то перехідну характеристику h(t) можна одержати зворотним перетворенням Фур’є від H(jω) в такому вигляді:

.                        (3)

Представивши частотну передатну функцію Ф(jω) системи сумою дійсної P(ω) і уявної Q(ω) складових

Ф(jω)=P(ω)+jQ(ω),                                                (4)

після деяких перетворень в (3) з урахуванням (2) і (4) в [1] одержані такі результати:

,                            (5)

.                                         (6)

Формула (5) дає можливість окремо визначити усталену і погасаючу складові перехідного процесу, а в формулі (6) ці складові не розділені. Отримані результати ілюструють зв’язок перехідного процесу з частотними характеристиками системи, серед яких важливу роль відіграє дійсна складова Р(ω). Зокрема, через P(ω) вираз

                                     (11)

визначає імпульсну характеристику p(t) системи як похідну від h(t) в (6).

15.4. Частотні оцінки якості перехідного процесу

Дійсна складова P(ω) комплексної ЧХ замкненої системи дозволяє визначити ряд показників перехідного процесу. Це ілюструє рис. 15.3, де приведені три типові характеристики P(ω) автоматичних систем.

В [3] показано, що в системі з характеристикою P(ω) першого типу, яка має „горб”, величина перерегулювання σ перевищує 18 %. В системі з характеристикою P(ω) другого типу величина перерегулювання σ не перевищує 18 %, а в системі з характеристикою P(ω) третього типуперерегулювання відсутнє, тобто σ = 0.

 

Рис.15.3. До визначення частотних оцінок якості перехідного процесу

 

Тривалість перехідного процесу q можна досить наближено оцінити величиною 2π/Dω, де Dω – ширина ефективного діапазону частот характеристики P(ω). Ефективним діапазоном частот вважають такий, за межами якого │P(ω)|<εּP(0), де ε<1.

При проектуванні систем автоматичного регулювання широко застосовують номограму [3], приведену на рис.15.4.

 

 

Рис.15.4. Номограма, яка зв’язує величини σ , q, ω_z і Р_max/P₀

 

Номограма зв’язує між собою параметри перехідного процесу σ і q з частотою зрізу ω_z АЧХ ланцюга ланок і величиною , де P_max  – максимальне значення складової P(ω) ЧПФ F(jω) замкненої системи, а P₀=P(0) – значення складової P(ω) при ω=0 (див. рис. 15.3).

Зв’язок між величинами ω_z та σ і q дає також наближена формула [12]

ω_z =0,12∙s /q,                                              (1)

яку можна використовувати при σ >10 %. При σ <10 % орієнтовно ω_z = / q.

В проектуванні систем автоматичного керування широко використовують логарифмічну частотну характеристику розімкненої системи, яка дає можливість не тільки визначити запаси стійкості, але і одержати деякі оцінки якості керування.

Область низьких частот ЛАЧХ (рис.15.5) визначає головним чином точність системи. В системі без астатизму A(0)=k, тому амплітудна (статична) помилка системи

.                          (2)

В астатичній системі A(0)=¥, тому амплітудна помилка астатичної системи дорівнює нулю. Від коефіцієнта підсилення системи k залежать також коефіцієнти помилок, якими часто оцінюють точність регулювання.

 

 

Рис. 15.5. ЛАЧХ ланцюга ланок системи регулювання

 

Якість перехідного процесу визначає в основному, область середніх частот. Частота зрізу ω_z, яка знаходиться в цій області, визначає тривалість перехідного процесу. Нахил ЛАЧХ в області ω_z впливає на степінь коливальності перехідного процесу. Найсприятливіший нахил – 20 дБ на декаду в області середніх частот забезпечує близький до аперіодичного перехідний процес в системі. Область високих частот суттєво не впливає на перехідний процес системи.