24.3 Наближений метод розрахунку частотних характеристик цифрової системи

В передатній функції цифрової системи

.                                (1)

змінна s, яку потрібно замінити на jω для отримання частотної передатної функції, явно не присутня. Перший спосіб її візуалізації точною заміною z на sза формулою  розглянутий вище. Другий спосіб виконується наближеною заміною z на s за формулою

,                                                  (2)

відомою як зворотне білінійне перетворення.

Метод розрахунку частотних характеристик з використанням підстановки (2) назвемо наближеним. В результаті підстановки (2) в (1) одержимо передатну функцію W_ц(s), яку можна трактувати як передатну функцію неперервного аналога цифрової системи. Оскільки зарані відомо, що аргумент s вW_ц(s) не є точним аргументом s неперервного перетворення Лапласа, то при переході до частотної передатної функції замінимо його не величиною jω, а величиною jW, в якій W називають псевдочастотою. В результаті зазначеної заміни одержимо частотну передатну функцію W_ц(jW) неперервного аналога цифрової системи від псевдочастоти. В подальшому з частотної передатної функції визначають амплітудно-частотну характеристику з формули

A(W)=|W_ц (jW)|,                                                  (3)

і фазово-частотну характеристику з формули

j(W)=arg W_ц (jW).                                             (4)

Між частотними характеристиками, розрахованими прямим і наближеним методами існує розбіжність, обумовлена розбіжністю масштабу осі „цифрової” частоти з масштабом осі псевдочастоти. Дійсно, якщо (2) переписати у вигляді

,                                                  (5)

то з (11) можна одержати таку ж залежність між W і ω_c, яка раніше була одержана між ω і ω_c, а саме

.                                                       (6)

24.4. Особливості розрахунку частотних характеристик замкненої цифрової системи

Частотні характеристик замкненої цифрової системи з передатною функцією

.                                 (1)

можна розрахувати будь-яким описаним вище методом. Для цього спочатку потрібно розрахувати частотну передатну функцію від звичайної („цифрової”) або від псевдочастоти, після чого АЧХ знайти як модуль частотної передатної функції, а ФЧХ – як її аргумент. Однак, якщо в процесі розрахунку цифрової системи спочатку розраховані частотні характеристики А(w) і j(w) її розімкненої частини, то останні можна використати для розрахунку характеристик замкненої системи за допомогою формул:

,                                      (2)

.                                             (3)

Ці формули були одержані одержані для неперервної системи, але достатньо загальні припущення, при яких вони були виведені, дозволяють їх застосовувати і для розрахунку цифрової системи. Частотний діапазон застосування цих формул при розрахунку цифрової системи обмежений половиною частоти дискретизації π/T.

При розрахунку ФЧХ j_з(w) потрібно контролювати знаменник виразу (3). Зокрема, при від’ємних значеннях знаменника необхідно у даному випадку результат обчислення функції  arctg(x)  зменшити на величину p.

Зауваження відносно розбіжності між частотними характеристиками цифрової системи і її аналоговим прототипом, висловлені вище, залишаються справедливими і в даному випадку.

Задачі

1.       Визначте ПХ h(nT) замкненої цифрової системи, ланцюг ланок аналогового прототипу якої складається з підсилювача з k₀=100 та інерційної ланки з параметрами k₁=1 і Т₁=0,1. Значення h(nT) для декількох значень nT знайдіть з представлення H(z) рядом Лорана при Т=0,1×Т₁.

2.       Знайдіть ПФ цифрового фільтру, прототипом якого є ланцюг ланок з інтегратором, підсилювачем з коефіцієнтом k₀ та інерційна ланка з параметрамиk₁ і T₁. Прямим методом заміни z на exp(sT) знайдіть частотну ПФ цифрового фільтра, а також формули для АЧХ і ФЧХ.

3.       Методом дискретизації імпульсної характеристики знайдіть передатну функцію цифрового фільтра, еквівалентом якого є інерційна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1. Зворотним білінійним перетворенням знайдіть формули для АЧХ і ФЧХ цифрового фільтра і побудуйте відповідні частотні характеристики в діапазоні частот від 0 до p/T, де візьміть Т£0,1ּT₁.