§ 22. Эквипотенциальные поверхности. Подобно тому как мы графически изображаем линиями напряженность элек­трического поля, можно изобразить и разность потенциа­лов (напряжение).

Вообразим поверхность, для любой пары точек которой разность потенциалов равна нулю. Такая поверхность на­зывается эквипотенциальной поверхностью или поверх-

ностью равного потенциала. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эта поверхность образует некоторую линию — эквипотенциальную линию. Согласно формуле (21.1), при пе­ремещении заряда вдоль такой поверхности (или линии) работа электрических сил равна нулю. Это может быть только в том случае, если направление перемещения все время перпендикулярно к действующей силе, а значит, эквипотенциальная поверхность в любой точке перпендику­лярна к линиям поля. И обратно, всякая поверхность, пер­пендикулярная в любой точке к линиям поля, есть экви­потенциальная поверхность, так как перемещение заряда вдоль этой поверхности вследствие перпендикулярности силы и перемещения не будет сопровождаться работой электрических сил.

На чертеже мы изображаем не эквипотенциальные по­верхности, а лишь их сечение плоскостью чертежа, т. е. эквипотенциальные линии. С их помощью мы получаем наглядное представление о том, как изменяется разность потенциалов в данном поле. Их удобно чертить таким об­разом, чтобы разность потенциалов для любых двух сосед­них линий была одна и та же, например 1 В. Для того что­бы эту разность потенциалов показать на чертеже, мы вы-

Рис. 40. Карта эквипотенциальных поверхностей точечного заряда: а) заряд положительный; б) заряд отрицательный

берем произвольную эквипотенциальную линию, отметим ее цифрой 0 и будем проставлять возле всех остальных циф­ры 1, 2, 3 и т. д., указывающие разность потенциалов в вольтах между точками данной эквипотенциальной линии и линии, выбранной нами за нулевую. При этом выбор ну­левой линии (нулевой поверхности) совершенно произво­лен, так как физический смысл имеет: только разность по­тенциалов для двух каких-либо поверхностей (§21), а эта

разность, очевидно, не зависит от выбора нулевой поверх­ности.

Рассмотрим в качестве примера поле точечного поло­жительного заряда. В этом случае линии поля — радиаль­ные прямые, и поэтому эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы, которые в каждой точке перпенди­кулярны к линиям поля. Эквипотенциальные линии — концентрические окружности, изображенные на рис. 40, а. При построении этого чертежа за нулевую линию была выбрана произвольная окружность и затем построены ок­ружности с разностью потенциалов (относительно нулевой окружности) 1, 2, 3 и т. д. вольт. На рис. 40, б показаны построенные таким образом эквипотенциальные линии точечного отрицательного заряда.

§ 23. В чем смысл введения разности потенциалов? в § 21

мы ввели новую величину — разность потенциалов. Для чего же служит эта величина и в чем заключается ее польза?

Зная разность потенциалов для всех точек поля, т. е. имея график эквипотенциальных поверхностей, можно

Рис. 41. Построение линий поля по эквипотенциальным поверх­ностям 1—5

просто определить и напря­женность этого поля. Действи­тельно, пусть 1,2, 3, 4, 5 (рис. 41) — эквипотенциальные поверхности. Они в каждой точке перпендикулярны к ли­ниям поля (§ 22), и поэтому, прочерчивая линии LM, пер­пендикулярные к эквипотен­циальным поверхностям, мы сразу находим линии данного поля, т. е. определим направ­ление поля в каждой точке. Указанное на рис. 41 направ­ление линий LM соответству­ет случаю, когда при переходе от поверхности 1 к поверх­ности 2 и т. д. потенциал убывает ¹).

Для того чтобы найти напряженность поля в точке,а, лежащей на эквипотенциальной поверхности 1—1, перене­

сем мысленно положительный заряд q из точки а вдоль ли­нии Поля в соседнюю точку Ь, лежащую на эквипотенциаль­ной поверхности 2—2. Пусть разность потенциалов между поверхностями 1 и 2 равна U₁₂, а длина отрезка аЪ (т. е. расстояние между этими поверхностями) равна I. Тогда работа, совершаемая электрическими силами при этом пе­ремещении, согласно формуле (21.1), равна q(J_l2. С другой стороны, эта же работа равна произведению силы F на пере­мещение I, т. е. равна FI, так как направление перемеще­ния и направление силы в этом случае все время совпадают. Но, согласно формуле (14.1), F—qE. Поэтому искомая ра­бота есть

qEl — qU₁₂,

отсюда

£ = . (23.1)

Если напряженность поля в разных точках отрезка / различна, то формула (23.1) определяет среднюю напряженность поля на отрезке /. Для получения истинной напряженности в данной точке надо выбирать I достаточно малым.

Величина U₁₂/l представляет собой разность потенциа­лов между концами линии поля, приходящаяся на единицу длины линии поля, или, как еще принято говорить, напря­жение на единицу длины линии поля. Мы видим, что на­пряженность в каком-либо месте поля равна напряжению на единицу длины линии поля.

С другой стороны, если эквипотенциальные поверхности прочерчены через 1 В, то в формуле (23.1) U_n= 1В и Е= = 1 В//, т. е. напряженность поля обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными поверх­ностями. Другими словами, чем теснее расположены эквипо­тенциальные поверхности, тем больше напряженность поля в данном месте.

Из формулы (23.1) следует, что для поля, напряжен­ность которого равна единице, напряжение на единице длины равно единице. В соответствии с этим единица на­пряженности электрического поля в СИ получила назва­ние вольт на метр (В/м).

Мы видим, что, зная разность потенциалов между лю­быми двумя точками поля (или, как иногда говорят, зная распределение потенциала поля), мы можем определить в каждой точке поля и напряженность электрического поля, т. е. найти силы, действующие на заряды в этом поле.

•% 23.1. Две параллельные плоские пластины, находящиеся на рас- • стоянии 10 см друг от друга, заряжены до разности потенциалов 1000 В. Какая сила будет действовать на заряд, равный 0,1 мКл, помещенный между пластинами?

2. Опыт показывает, что у поверхности Земли имеется электри­ческое поле, направленное к Земле, напряженность которого равна около 130 В/м. Какая сила действует на положительный ион водорода вблизи Земли и куда эта сила направлена? Во сколько раз она больше силы тяжести, действующей на ион? Масса атома водорода равна 1,67-10~²⁷ кг. Заряд электрона равен 1,60х

• ХЮ-¹⁹ Кл.

Согласно формуле (21.1),

А = qU₁₂;,

где А — работа, совершаемая над зарядом q при его пере­мещении из точки 1 в точку 2. Если заряд положителен, то знак А совпадает со знаком f/₁₂. Работа А будет поло­жительна, если сила, действующая на заряд, направлена так же, как перемещение, т. е. от точки 1 к точке 2. В случае положительного заряда q такое же направление будет иметь и напряженность поля. С другой стороны, U₁₂ будет положительна, если потенциал в точке 2 меньше, чем в точке 1. Отсюда заключаем, что напряженность элек­трического поля направлена в сторону убывания потен­циала. Поэтому поле будет стремиться переместить поло­жительный заряд в сторону убывания потенциала, а отри­цательный заряд — в сторону возрастания потенциала.

Таким образом, при помощи разности потенциалов мож­но охарактеризовать электрическое поле так же полно, как и при помощи напряженности. График эквипотенциальных линий представляет собой такую же «электрическую кар­ту», как и график линий поля. Зная один из этих графиков, можно, согласно сказанному в § 22, без труда построить другой график. Относительно густоты проведения экви­потенциальных поверхностей можно повторить то же самое, что сказано в § 17 относительно густоты линий поля. Если известно распределение потенциалов в поле, то можно очень просто разрешать важные задачи, относящиеся к электрическому полю. Во многих случаях решение таких задач с помощью распределения потенциалов проще, чем с помощью линий поля.

В § 25 мы увидим также, что разность потенциалов го­раздо легче измерить на опыте, чем напряженность поля. Поэтому описание поля при помощи разности потенциа­лов — очень важный и полезный метод.

§ 24. Условия равновесия зарядов в проводниках. Рассмот­рим условия равновесия зарядов в проводнике, восполь­зовавшись понятием разности потенциалов. Как уже ука­зывалось в § 16, при равновесии зарядов напряженность поля в проводнике должна равняться нулю (т. е. электри­ческое поле в проводнике отсутствует). Но на основании

1. это означает, что разность потенциалов между лю­быми точками проводника равна нулю. Это относится так­же и ко всем точкам поверхности проводника. Следова­тельно, поверхность провод­ника является эквипотенци­альной поверхностью.

Рис. 42. К объяснению возник­новения движения зарядов при наличии разности потенциалов

Так как линии поля пер­пендикулярны ко всем экви­потенциальным поверхностям (§ 22), то они перпендикуляр­ны к поверхности проводни­ка — вывод, который мы уже получили в § 18.

Если мы имеем два изоли­рованных проводника 1 и 2 (рис. 42), то поверхность каждого из них должна быть эк­випотенциальной поверхностью. Но между поверхностя­ми этих двух проводников может существовать разность потенциалов. Что произойдет, если эти два проводника со­единить металлической проволокой? Между концами этой проволоки будет существовать разность потенциалов, рав­ная разности потенциалов проводников. Следовательно, вдоль проволоки будет действовать электрическое поле, и поэтому в ней начнется движение свободных электронов, переходящих в сторону возрастания потенциала (§ 23), ибо электроны имеют отрицательный заряд. Вместе с этим движением начнется и перемещение электронов по провод­никам 1 и 2, в результате которого имевшаяся вначале раз­ность потенциалов между проводниками будет уменьшать­ся. Движение электронов, т. е. электрический ток в провод­никах и в соединяющей их проволоке, будет продолжаться до тех пор, пока разность потенциалов между всеми точка­ми этих проводников не станет равной нулю и поверхности обоих проводников и проволоки между ними не сделаются одной эквипотенциальной поверхностью.

Наш земной шар в целом является проводником. По­этому поверхность Земли есть также эквипотенциальная поверхность. При построении эквипотенциальных поверх­ностей нередко выбирают в качестве нулевой эквипотен­

циальную поверхность, совпадающую с поверхностью Зем­ли, и иногда говорят вместо «разность потенциалов» просто «потенциал» в данной точке. При этом имеют в виду ту раз­ность потенциалов, которая существует между этой точкой и какой-либо точкой поверхности Земли. Как уже было разъяснено в § 22, выбор поверхности Земли в качестве ну­левой эквипотенциальной поверхности является условным.

^ 24.1. Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверх-

• ностей и линий поля возле положительного точечного заряда, по­мещенного над земной поверхностью.

2. Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверх­ностей и линий поля, возникающего между заряженным металли­ческим шаром и стенами комнаты.

3. Измените.! ли электрическое поле, создаваемое зарядом, если этот заряд окружить тонкой незаряженной металлической поверхностью, совпадающей с одной из эквипотенциальных по­верхностей?

§ 25. Электрометр. Посмотрим теперь, каким образом мож­но измерить на опыте разность потенциалов. Для этого рас­смотрим прибор, изображенный на рис. 43. Он представля­ет собой не что иное, как обычный электроскоп с листками, который, однако, имеет металлический корпус и измери­тельную шкалу. Соединим корпус этого прибора с Землей

Рис. 43. Электрометр: а) общий вид, К — зажим для присоединения провода, соединяющего металлический корпус с Землей; б) условное

изображение

и коснемся его стержня каким-либо заряженным телом. При этом часть заряда перейдет на стержень и листки ра­зойдутся на некоторый угол. От чего зависит отклонение листков?

При зарядке листков внутри прибора возникает электри­ческое поле. Линии этого поля показаны на рис. 44 штри­

ховыми линиями, а его эквипотенциальные поверхности — сплошными линиями. Поверхность металлического корпуса есть эквипотенциальная поверхность (§ 24); то же отно­сится к поверхности стержня и листков; но, конечно, это — две различные эквипотенциальные поверхности, между которыми имеется некоторая разность потенциалов, со­ответствующая полю внутри прибора. Между ними разме­щаются другие эквипотенциальные поверхности. На рис. 44 мы прочертили их через одно и то же число линий поля.

Рис. 44. Электрическое поле внутри электроскопа с металлическим корпусом: а) при большой разности потенциалов между листками и корпусом; б) при малой разности потенциалов между ними

Поэтому число изображенных на чертеже эквипотенциаль­ных поверхностей зависит от разности потенциалов между листками и корпусом. Если эта разность потенциалов ве­лика, то эквипотенциальные поверхности расположены очень густо, и поэтому падение потенциала на единицу длины значительно; следовательно, согласно § 23, напря­женность поля вокруг листков тоже велика. Если, наобо­рот, разность потенциалов между листками и корпусом ма­ла, то падение потенциала невелико и напряженность поля возле листков мала.

Отклонение листков зависит от действующей на них си­лы, т. е. в конечном счете от напряженности электрического поля возле них. Чем больше разность потенциалов, тем больше напряженность поля возле листков, тем больше и их отклонение. Создавая одну и ту же разность потенциа­лов между листками и корпусом, мы будем наблюдать и одинаковые отклонения листков. Мы видим, что отклоне­

ние листков в данном приборе зависит от разности потенциа­лов между ними и корпусом прибора. Снабдив прибор шка­лой, мы можем по отклонению листков судить о разности потенциалов.

Приборы для измерения разности потенциалов назы­ваются электрометрами. На рис. 45 показан один из ти­пов электрометра. Его можно проградуировать, т. е. опре­делить, какой разности потенциалов, выраженной в воль­тах, соответствуют различные углы отклонения листков, и тогда по отклонению листков можно сразу же определить

Рис. 45. Измерение разности потен­циалов между проводником и Зем­лей при помощи электрометра (пер­вый способ)

эту разность потенциалов, выраженную в вольтах. Из сказанного следует, что электрометр всегда измеря­ет разность потенциалов между его листками и кор­пусом.

Для того чтобы при по­мощи электрометра изме­рить разность потенциалов между какими-либо двумя проводниками, например проводником и Землей (рис. 45), нужно стержень соединить с этим проводником,

Рис. 46. Измерение разности потен­циалов между проводником и Землей при помощи электрометра (второй спо­соб)

(листки) электрометра а его корпус — с Землей. Через очень короткое время стержень электрометра окажется при том же потенциа­ле, что и соединенный с ним проводник, а потен­циал корпуса электро­метра сравняется с по­тенциалом Земли (§ 27). Таким образом, показа­ния электрометра дадут разность потенциалов между проводником и Землей. Перемещая ко­нец проволоки, ведущей к электрометру, по по­верхности проводника, можно убедиться, что отклонение листков со­вершенно не меняется, т. е. что, согласно § 24, поверх­ность проводника является эквипотенциальной поверх­ностью, какую бы сложную форму она ни имела.

Можно, конечно, поступать наоборот: соединить с Зем­лей стержень электрометра, а корпус его, тщательно изоли­ровав (например, поставив на кусок парафина), соединить с изучаемым проводником (рис. 46).

Показания электрометра и в этом случае дают разность потенциалов между его стержнем и корпусом, а следова­тельно, разность потенциалов между проводником и Зем­лей.