2.1 Анализ устойчивости скорректированной системы

Проверим устойчивость скорректированной системы по критерию Найквиста. Выпишем знаменатель (2.6) и приравняем его к нулю

.

Не решая его можно увидеть, что, из-за интегрирующей составляющей, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Тогда для устойчивости замкнутой системы годограф Найквиста, дополненный на границе разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не должен охватывать особую точку с координатами [-1;0j].

Построение годографа Найквиста будем проводить на Mathcad (Приложение Б.3). Результат построения показан на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 Годограф Найквиста скорректированной системы

Так как годограф Найквиста не охватывает особую точку, то замкнутая система устойчива.

По годографу Найквиста рассчитаем запасы устойчивости. Так, запас устойчивости по модулю равен

Для определения запаса устойчивости по фазе необходимо найти угол между действительной осью и прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения годографа Найквиста с единичной окружностью, которая на рисунке 2.2 показана штриховой линией. При этом угол нужно отсчитывать от отрицательной части действительной оси.

С другой точки зрения достаточно найти аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы на частоте, при которой годограф Найквиста пересекается с единичной окружностью. В приложении Б.3 продемонстрировано как был найден этот угол. В итоге запас по фазе

Построим ЛФЧХ (Приложение А) скорректированной системы, для расчета точек которой можно воспользоваться ранее выведенной нами формулой (2.3). Точки ЛФЧХ сведены в таблицу 2.1.

Отметим, что по ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы. Выше нами было доказано, что разомкнутая система находится на границе устойчивости, тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число переходов через линию – при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае, равным нулю) [3, стр. 252]. В нашем случае число переходов равно нулю. Отметим также, что запасы устойчивости не противоречат расчетным и приближенно им равны.

Таблица 2.1 Построение ЛФЧХ

lg , дек.	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6
, градусы	–110,43	–119,03	–127,43	–132,53	–132,40	–127,83	–122,03	–118,47	–119,28
lg , дек.	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2	3,4
, градусы	–125,75	–139,23	–161,31	–192,48	–229,79	–266,63	–297,02	–319,02	–333,81

Перед тем, как проверять систему на соответствие требованиям технического задания, оценим ее устойчивость по методу Михайлова.

Характеристическое уравнение замкнутой скорректированной системы примет следующий вид

(2.6)

Тогда годограф Михайлова будет определяться по следующей формуле

Так, корректирующее звено увеличило порядок системы, и теперь он равен пяти, следовательно, для устойчивости замкнутой системы годограф Михайлова должен, начиная с правой полуплоскости, пройти против часовой стрелки 5 квадрантов комплексной плоскости по порядку, не пересекая начала координат.

Рисунок 2.3 Годограф Михайлова в уменьшенном (слева) и увеличенном (справа) масштабах

Воспользуемся средствами Mathcad (Приложение Б.4) для графического представления годографа Михайлова (рисунок 2.3).

В одном масштабе годограф Михайлова не удается рассмотреть целиком, поэтому на рисунке 2.3 он представлен в двух масштабах.

Как мы видим, коррекция никак не отразилась на устойчивости системы.