2.1.3 Лабораторная работа № 3 «Функциональные

преобразования результатов измерений

(косвенные измерения)»

2.1.3.1 Цель работы

Проведение бесконтактных многократных измерений диаметра прутка и определение площади поперечного сечения прутка на основе функциональных преобразований результатов измерения его диаметра.

2.1.3.2 Содержание работы

Оценка закономерностей погрешностей средства измерений, проведение прямых многократных измерений двух линейных размеров, обработка экспериментальных данных косвенным методом.

2.1.3.3 Экспериментальное оборудование

Катетометр В-630 (КМ-6).

2.1.3.4 Подготовка к работе

Самостоятельная подготовка студентов к выполнению лабораторной работы осуществляется по следующим разделам:

– виды и методы измерений [15, 16, 20];

– функциональные преобразования результатов измерений [14, 17, 20];

– устройство катетометра [11].

2.1.3.5 Теоретическая часть

а) Виды и методы измерений

Измерение – это совокупность операций по применению системы измерений для получения значения измеряемой физической величины. Можно выделить следующие виды измерений:

1) По характеру зависимости измеряемой величины от времени измерения:

– статические, при которых измеряемая величина остается постоянной во времени (измерения размеров тела, постоянного давления);

– динамические, в процессе которых измеряемая величина изменяется и является непостоянной во времени (измерения пульсирующих давлений, вибраций);

2) по способу получения результатов измерений (виду уравнения измерений):

– прямые;

– косвенные;

– совокупные;

– совместные.

При прямом измерении искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных, например, измерение угла угломером или измерение диаметра штангенциркулем.

При косвенном измерении искомое значение величины определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например: определение среднего диаметра резьбы с помощью трех проволочек; угла – с помощью синусной линейки.

Совместными называют измерения (прямые или косвенные) одновременно двух или нескольких неодноименных величин. Целью совместных измерений является нахождение функциональной зависимости между величинами, например зависимости длины тела от температуры, зависимости электрического сопротивления проводника от давления и т. п.

Совокупные – это такие измерения, в которых значения измеряемых величин находят по данным повторных измерений одной или нескольких одноименных величин при различных сочетаниях мер или этих величин. Результаты совокупных измерений находят путем решения системы уравнений, составляемых по результатам нескольких прямых измерений. На­пример, совокупными являются измерения, при которых массы отдельных гирь набора находят по известной массе одной из них и по результатам прямых сравнений масс различных сочетаний гирь;

3) по условиям, определяющим точность результата измерения:

– измерения, требующие максимально возможной точности, достижимой при существую­щем уровне техники. К ним относятся, в первую очередь, эталонные измерения, связанные с максимально возможной точностью воспроизведения установленных единиц физических величин, и, кроме того, измерения физических констант, прежде всего универсальных (например, абсолютного значения ускорения свободного падения и др.).

К этому же классу относятся и некоторые специальные измерения, требующие высокой точности;

– контрольнo-поверочныe измерения, погрешность которых с определенной вероятностью не должна превышать некоторое заданное значение. К ним относятся измерения, выполняемые лабораториями государственного надзора за внедрением и соблюдением стандартов и состоянием измерительной техники и заводскими измерительными лабораториями с погрешностью заранее заданного значения;

– технические измерения, в которых погрешность результата определяется характеристиками средств измерений. Например, измерения, выполняемые в процессе производства на машиностроительных предприятиях, на щитах распределительных устройств электрических станций и др.;

4) по способу выражения результатов измерений:

– абсолютные, которые основаны на прямых измерениях величины и (или) использовании значений физических констант, например, измерение размеров деталей штангенциркулем или микрометром;

– относительные, при которых величину сравнивают с одноименной, играющей роль единицы или принятой за исходную, например измерение диаметра вращающейся детали по числу оборотов соприкасающегося с ней аттестованного ролика.

В зависимости от совокупности измеряемых параметров изделия различают поэлементный и комплексный методы измерения.

Поэлементный метод характеризуется измерением каждого параметра из­делия в отдельности (например, эксцентриситета, овальности, огранки ци­линдрического вала).

Комплексный метод характеризуется измерением суммарного показателя качества (а не физической величины), на который оказывают влияние от­дельные его составляющие (например, измерение радиального биения ци­линдрической детали, на которое влияют эксцентриситет, овальность и др.).

Различают следующие методы измерений:

1. По способу получения значений измеряемых величин

– метод непосредственной оценки;

– метод сравнения с мерой.

Метод непосредственной оценки – метод измерения, при котором значение величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого действия (например, измерение длины с помощью линейки или размеров деталей микрометром, угломером и т. д.).

При методе сравнения с мерой измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой. Например, для измерения диаметра калибра микрокатор устанавливают на нуль по блоку концевых мер длины, а результаты измерения получают по отклонению стрелки микрокатора от нуля, то есть сравнивается измеряемая величина с размером блока концевых мер. О точности размера судят по отклонению стрелки микрокатора относительно нулевого положения.

Существуют несколько разновидностей метода сравнения с мерой:

– метод противопоставления, при котором измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воздействуют на прибор сравнения;

– дифференциальный метод. Измеряемую величину сравнивают с известной величиной, воспроизводимой мерой. Этим методом, например, определяют отклонение контролируемого диаметра детали на оптиметре после его настройки на нуль по блоку концевых мер длины;

– нулевой метод, при котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводят до нуля. Подобным методом измеряют электрическое сопротивление по схеме моста с полным его уравновешиванием;

– метод совпадений, при котором разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, определяют, используя совпадения отметок шкал или периодических сигналов (например, при измерении штангенциркулем используют совпадение отметок основной и нониусной шкал).

2. При измерении линейных величин

– контактный метод измерений;

– бесконтактный.

3. В зависимости от измерительных средств, используемых в процессе измерения

– инструментальный;

– экспертный;

– эвристический;

– органолептический метод измерений.

Инструментальный метод основан на использовании специальных техни­ческих средств, в том числе автоматизированных и автоматических.

При экспертном методе оценки используют данные нескольких специалистов. Широко применяется в квалиметрии, спорте, искусстве, медицине.

Эвристический метод оценки основан на интуиции. Широко используется способ попарного сопоставления, когда измеряемые величины сначала сравниваются между собой попарно, а затем производится ранжирование на основании результатов этого сравнения.

Органолептический метод оценки базируется на использовании органов чувств человека (осязания, обоняния, зрения, слуха и вкуса). Часто производятся измерения на основе впечатлений (конкурсы мастеров искусств, соревнования спортсменов.

б) Косвенные измерения

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение находят на основании зависимости

,

где – значения, полученные при прямых измерениях.

По виду функциональной зависимости они делятся на две основные группы – линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; перебора.

Косвенные измерения при линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

,

где – постоянный коэффициент i-гo аргумента ;

– число аргументов.

Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.

Если коэффициенты определяют экспериментально, то нахождение результата измерения величины производится поэтапно. Сначала оценивают каждое слагаемое как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины . Результат косвенного измерения определяют по формуле

,

где – оценка результата измерений аргумента , получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата измерения будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения

,

то, если результаты обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, оценка результата измерения также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами среднее квадратическое отклонение результата косвенного измере- ния , обусловленное случайными погрешностями, вычисляется по формуле

,

где – среднее квадратическое отклонение результата изме­рения аргумента .

При большом числе измерений (более 25–30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле

,

где t_p – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности .

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях систематические погрешности стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение пpиводит к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измерений.

Доверительные границы неисключенной систематической по-грешности результата линейного косвенного измерения в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами , вычисляют по формуле

,

где – поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом составляющих .

Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеари­зации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

,

где – первая частная производная от функции по аргументу , вычисленная в точке , , … ;

– отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметического;

– остаточный член.

Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если

,

где – среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата измерений аргумента .

При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка.

Оценка результата рассчитывается по формуле

.

Коэффициенты влияния чаще всего определяются путем под­становки в выражения для частных производных оценок . По­этому вместо самих коэффициентов влияния получаются их оцен­ки. В ряде случаев они устанавливаются экспериментально, что приводит к возникновению еще одной погрешности нелинейных косвенных измерений.

Оценка среднего квадратического отклонения случайной погрешности результата косвенного измерения:

.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются, так же как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов в формулы подставля­ются коэффициенты влияния . Аналогичным образом поступа­ют при определении границ неисключенной систематической погрешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

Метод nриведения. Он используется для определения результа­тов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреля­ции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результа­тов измерений аргументов, полученных в процессе многократ­ных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях. Метод основан на приведении отдельных значений косвенно изме­ряемой величины к ряду простых измерений.

Результат косвенного измерения и среднего квадратического отклонения его случайной по­грешности вычисляются по формулам:

; .

Доверительные границы случайной погрешности результата из­мерения рассчитываются по формуле , где – коэффи­циент, зависящий от вида распределения отдельных значений оп­ределяемой величины и выбранной доверительной вероятности.

Границы неисключенной систематической погрешности и до­верительные границы погрешности результата косвенного измере­ния определяются так же, как и математические действия над результатами измерений в рассмотренных выше случаях.

в) Математические действия над результатами измерений

При использовании измерительной информации нередко производят различные математические действия над результатами измерений. При этом обязательно нужно учитывать, что результат измерения является случайным значением измеряемой величины. Обращение с результатами измерения как с неслучайными значениями приводит к ошибкам.

Любые функциональные преобразования результатов измерений связаны с изменением законов распределения вероятности. Так, если Q = f(A), где А – результат измерения, а f – монотонная функция, то плотность распределения вероятности Q выражается через плотность распределения вероятности результата А измерения:

, (2.1.3.1)

где f ^–1– функция, обратная функции f.

Пример. Q = A², плотность распределения А: . Определить закон распределения вероятности результата измерения P(Q).

Решение:

;

.

При сложных функциях и в случае, если функция является функцией нескольких переменных, произвести указанные преобразования невозможно. В этом случае ограничиваются определением приближенных оценок числовых законов.

Пусть осуществляются косвенные измерения величины Q путем вычисления ее значения по результатам измерений А и В по известной зависимости Q = f(A; B). Предположим, что в результат измерения А и В внесены все необходимые поправки. Тогда А и В можно представить как

; ; .

Идея приближенного вычисления заключается в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения.

По сравнению с и значения δ_А и δ_В достаточно малы, поэтому разложим функцию f в ряд Тейлора:

(2.1.3.2)

Из анализа выражения (2.1.3.2) видно, что первые слагаемые правой и левой частей не зависят от случайных отклонений, и, следовательно:

. (2.1.3.3)

Для определения поправки Θ вычитаем из (2.1.3.2) уравнение (2.1.3.3) и усредним левую и правую части полученного выражения:

. (2.1.3.4)

При функциональных преобразованиях результатов измерений, даже при равенстве нулю значений поправок А и В возникает необходимость во внесении поправки Θ.

Анализируя (2.1.3.4), можно утверждать, что

.

Переходя к точечным оценкам, получим:

;

,

где – коэффициент корреляции, .

.

Рассмотрев общий подход к функциональным преобразованиям результатов измерений, рассмотрим частный случай.

Пример. Алгебраическое сложение результатов измерений.

Измеряют сопротивления двух резисторов. Получен результат:

R₁ = 100 Ом, S_R1 = 5,8 (распределение равномерное) и R₂ = 100 Ом, S_R2 = 5,8 (распределение равномерное). Определить сопротивление последовательно соединенных указанных резисторов.

Решение:

.

1) Определим Ом; Θ = 0.

Ом.

2) Определим сопротивление R с учетом того, что R₁ = R₂, как R = 2·R₁.

Тогда Ом; Ом.

Пример указывает на то, что для результатов измерений операция сложения не эквивалентна операции умножения, то есть , где Q_i = Q.

Выше указывалось, что распределение вероятности алгебраической суммы нескольких случайных величин называют композицией их распределений. Композицией двух равномерных законов распределения является треугольный закон распределения (закон Симпсона). Композицией двух равномерных законов с неодинаковым размахом служит трапецеидальный закон. С увеличением числа независимых слагаемых композиция их законов распределения быстро стремится к нормальному закону (четыре-пять слагаемых). Нормальный закон является наиболее устойчивым.

2.1.3.6 Контрольные вопросы

1. Какие виды измерений вы знаете?

2. Перечислите основные виды измерений.

3. Какие измерения называются органолептическими, инструментальными?

4. Какие измерения называются косвенными?

5. Укажите недостатки и преимущества косвенных измерений.

6. Запишите в общем виде выражение для определения точечной оценки истинного значения измеряемой косвенным методом величины, рассчитываемой по зависимости , где X_i – величина, определяемая на основе прямых измерений.

7. Как найти значение поправки  при функциональном преобразовании результатов измерений?

8. Как определить оценку среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения?

9. Для чего предназначен катетометр?

10. Какова цена наименьшего деления отсчетного устройства катетометра?

2.1.3.7 Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с техническим описанием и инструкцией по эксплуатации катетометра.

2. Получить у преподавателя объект измерений.

3. Подготовить катетометр к работе. Для этого необходимо:

– регулируя опоры 19 (рисунок 8), выставить ось прибора в строго вертикальное положение по круглому уровню 2;

– включить вилку осветителя в розетку источника питания 1 и вилку источника питания в розетку сети питания;

– переместить измерительную каретку 8 на уровень измеряемого объекта, открепив винт 7;

– установить окуляр визирной трубы на резкость изображения масштабной сетки, шкалы и пузырька уровня;

– произвести наводку на резкость изображения измеряемого объекта, пользуясь маховиком 11.

1 – источник питания; 2 – уровень; 3 – колонка; 4, 15 – винты микрометрические;

5 – осветитель; 6 – окуляр; 7, 17, 20, 21 – винты; 8 – каретка; 9 – ролик; 10 – трос;

11 – маховик; 12 – линза насадочная; 13 – труба визирная; 14 – уровень; 16 – рукоятка;

18 – основание; 19 – регулируемая опора.

Рисунок 8 – Внешний вид катетометра В-630

4. Произвести измерение диаметра прутка. Для этого необходимо:

– произвести точную наводку визирной трубы на выбранную точку объекта с помощью микрометрического винта 4 при закрепленном винте 7 (при наводке визирной трубы одна из граней видимого изображения прутка должна располагаться точно посередине углового бисектора на уровне горизонтального штриха);

– наблюдая в окуляр, совместить изображения концов пузырька уровня винтом 15 (концы пузырька уровня должны образовывать дугу);

– снять отсчет Х_ki по шкале и масштабной сетке;

– произвести аналогичным образом точную наводку визирной трубы на вторую грань видимого изображения прутка и снять отсчет Х_k1 по шкале и масштабной сетке;

– определить результат измерения как .

5. Повторить процедуру по п. 4 еще 24 раза.

Результаты занести в таблицу 6.

Таблица 6 – Экспериментальные и расчетные значения

результатов измерений (форма)

№ п/п, i	Хhi	Хki	Di
1	2	3	4	5	6
1
…
25

Статистические расчеты могут быть выполнены на ЭВМ.

6. Определить точечные оценки истинного значения диаметра , среднеквадратического отклонения результатов измерений и среднеквадратического отклонения результата многократного измере- ния .

7. Проверить наличие промахов (значение коэффициента для уровня значимости , где Р – доверительная вероятность (Р = 0,95), определить для числа измерений п по таблице 7). Промахи следует исключить из массива, а вычисления по пп. 6 и 7 повторить.

Таблица 7 – Значения коэффициента для уровня значимости

n	22	23	24	25
	2,666	2,683	2,701	2,717

8. Рассчитать точечные оценки истинного значения определяемой площади поперечного сечения прутка , поправки и среднеквадратического отклонения результата измерения площади S .

9. Пренебрегая неисключенной систематической погрешностью и считая закон распределения вероятности результата измерения нормальным, определить доверительные границы случайной погрешности результата измерений . (Значение коэффициента Стьюдента t_p для доверительной вероятности Р = 0,95 и числа измерений после исключения ошибочных результатов n определить по табли- це 8).

Таблица 8 – Значения коэффициента Стьюдента

для доверительной вероятности Р = 0,95

n – 1	21	22	23	24
t0,95	2,080	2,074	2,069	2,064

10. Записать результат измерений.

2.1.3.8 Оформление отчета по работе

Отчет оформляется в соответствии с п. 1.4. Отчет по экспериментальной части работы должен содержать исходные данные и результаты расчетов согласно п. 2.1.3.7 (подп. 6); таблицу 6 (в случае выполнения статистических расчетов на ЭВМ столбцы 5 – 6 допускается не заполнять).