Минимальная таблица основных неопределенных интегралов
0.
= C 5.
=
ln
+ C (x
0)
1.
=xa+1/a+1
+ C (a
-1) 6.
2.
=
ax/lna + C (0<a
1)
7.
3.
= sin(x) + C 8.
4.
= - cos(x) + C 9.
10.
11.
.
Эта таблица достаточно невелика, легка для запоминания и с ее помощью можно получить практически все интегралы от функций, берущихся в конечном виде. Желательно, чтобы читатель получил ее совершенно самостоятельно, опираясь на знание производных элементарных функций.
Упражнение 1. Проверить минимальную таблицу интегралов дифференцированием. § 2. Основные свойства неопределенного интеграла
Приведем также ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих прямо из его определения и правил дифференцирования.
1.d
=
2.
=
+C
3.
=
4.
5.
+ C .
Здесь А, a и b, как и С, являются константами. Отметим, что свойства 3 и 4 вкупе обычно называют свойством линейности неопределенного интеграла. Подчеркнем, что равенство в формулах (1,3,4) имеет условный характер: его следует понимать как равенство правых и левых частей с точностью до константы.
Особенно наглядно свойство линейности интеграла можно проиллюстрировать при интегрировании многочлена
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0.
.
Это равенство справедливо на основании свойства 3.
Это
равенство справедливо на основании
свойства 4. Применяя далее интеграл 1 из
таблицы интегралов , получаем конечный
результат
.
Иногда к четырем свойствам присоединяют пятое, доказательство которого мы сейчас приведем, хотя оно является частным случаем метода (или правила) подстановки (замены).
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) , то
+ C ,
где a 0 и b постоянные.
Действительно, нам нужно доказать, что производная от правой части последнего равенства совпадает с подынтегральным выражением левой части равенства. Продифференцируем правую часть, используя правило дифференцирования сложной функции
(
+ C )'= (
)'=
=
=
.
Таким образом, пятое свойство доказано. Вполне аналогично проводится доказательство свойств 1-4.
Упражнение 2. Доказать свойства интегралов 1– 4.
Использование пятого свойства позволяет сразу подсчитать, например, такие интегралы:
,
.
Упражнение 3. Используя свойство 5 и минимальную таблицу неопределенных интегралов найти.
Имеется два основных метода интегрирования – по частям и замены. В литературе более общепринятое название – правила интегрирования (см., например, [15] с.326), в некоторых источниках используется названия методы интегрирования (см., например, [1] с.250, [2] с.320) в силу их важности. Мы будем использовать оба термина, так как это не приводит к путанице. Как уже отмечалось, пятое свойство интеграла является следствием более общего метода замены. К изложению последнего мы и переходим.
§ 3. Метод замены
Метод (правило) замены, или подстановки, является одновременно самым эффектным и эффективным методом интегрирования. Основу метода составляет следующее простое утверждение.
Теорема
2.
Пусть
функция
определена и дифференцируема на (a,b) и
на (,),
причем =(a),
=(b)
. Тогда
.
►Достаточно опять
воспользоваться правилом дифференцирования
сложной функции
и учесть, что по определению первообразной
G`(t)
= g(t).
Теорема 2 доказана. ◄
Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл .
Замечание. Теорема 2 остается справедливой если вместо (a,b) взять некоторое множество Х, представляющее из себя сегмент, полуинтервал или всю прямую. Естественно, тогда нужно заменить и интервал (,) на образ множества Х при отображении и потребовать существование на этом образе первообразную G(t).
В ряде случаев
удается выбрать в качестве новой
переменной такую дифференцируемую
функцию
,
что имеет место равенство
,
причем функция g(t) легко интегрируется
, т. е. интеграл
просто вычисляется. Доказанная выше
теорема 2 позволяет написать нам равенство
=
Этот прием вычисления интеграла и
называется методом замены, или подстановки,
переменной.
Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя, которое может прийти только с практикой. Рассмотрим несколько простых примеров (в прямых скобках указаны заменяемые функции и их дифференциалы).
1.
=
=-ln
+C=
-ln|cosx| +C.
При получении определенного навыка это решение записывают так
-ln|cosx| +C.
Этот прием называется внесением под знак дифференциала. Понятно, что это тот же метод замены, только роль переменной здесь играет cosx.
Аналогично
2.
Внесением под знак дифференциала решаются следующие два примера
3.
4.
.
5.
В этом интеграле
лучше сделать подстановку:
,
,
,
так что
.
Перейдем теперь
к переменной x,
полагая
и выражая
и
через
.
Окончательно
.
6.
Здесь удобнее
применить гиперболическую подстановку.
Останавливаясь для примера, на нижнем
знаке, положим:
(при x
и t>0),
.
Интеграл приведется просто к
Для перехода к x вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции
,
причем в постоянную
С мы включаем и слагаемое
.
7.
,
,
.
В данном случае
одинаково просто приводят к цели и
тригонометрическая и гиперболическая
подстановки. Для примера, во втором
интеграле возьмем
,
тогда
и
8.
Подстановка:
приводит этот интеграл к такому
,
но
,
так что окончательно
.
В силу дальнейшего частого использования правила замены, мы не приводим более примеров на это правило, тем не менее читателю рекомендуется решить несколько закрепляющих примеров.