§ 10. Интегрирование биномиальных дифференциалов

Биномиальными называются дифференциалы вида

x^m(a + bxⁿ)^pdx,

где a и b – любые постоянные, а показатели степеней т, п и р – некоторые рациональные числа. Рассмотрим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях биномиальных дифференциалов.

Прежде всего отметим три случая (известные еще И.Ньютону), когда интеграл от биномиального дифференциала допускает рационализирующую подстановку .

Первый случай соответствует целому р. В этом случае биномиальный дифференциал представляет собой дробно-линейную иррациональность вида R(x,x^1/r)dx, где r - наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от биномиального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой t^r = х.

Второй случай соответствует целому числу (m + 1) /n . В этом случае, сделав подстановку z=xⁿ и положив для краткости (m + 1) /n -1 = q, будем иметь

.

Подинтегральная функция в правой части представляет собой дробно-линейную иррациональность вида , где s знаменатель рационального числа р.

Таким образом, во втором случае биномиальный дифференциал рационализируется подстановкой .

Третий случай соответствует целому числу (m + 1) /n + p . В этом случае подынтегральная функция в правой части последнего равенства представляет собой дробно-линейную иррациональность вида , так что интеграл от биномиального дифференциала рационализируется подстановкой вида .

В середине прошлого века П. Л. Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях.

73