§ 6. Метод рационализации подынтегрального выражения
Интеграл от произвольной функции с помощью свойств и правил интегрирования сводят к рациональной функции. По схеме, изложенной в теореме 5, проводят интегрирование рациональной дроби. Этот прием и называется методом рационализации подынтегрального выражения.
Можно рассматривать рациональные функции от двух переменных (вполне аналогично можно рассматривать рациональные функции от трех и более переменных).
Определение 5. Рациональной функцией или рациональной дробью r(X,y) от двух переменных (X,y) называют отношение двух алгебраических полиномов
.
.
.
Так же, как и для одной переменной, множество рациональных дробей от двух переменных обладает рядом почти очевидных свойств.
Свойства рациональных дробей
1. Сумма или разность рациональных дробей – снова рациональная дробь.
2. Произведение или частное рациональных дробей – снова рациональная дробь.
3. Рациональная дробь от рациональной дроби – это снова рациональная дробь.
4. Частная производная от рациональной дроби – это снова рациональная дробь.
Говоря алгебраическим языком, операции сложения и умножения замкнуты над множеством рациональных дробей от двух переменных, ассоциативны и коммутативны. Поэтому множество рациональных дробей от двух переменных образует поле. Не вдаваясь в подробности, отметим, что это поле «сродни» полю рациональных чисел, но несколько лучше, так как все элементы этого множества не только можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга (делить за исключением нулю), но и брать различные «хитрые операции» над ними – частная производная и суперпозиция.
Вышеприведенные свойства рациональных дробей и являются основной причиной метода рационализации.
Обычно выделяют определенные классы функций, которые с помощью замены сводятся к интегрированию рациональной дроби. К описанию таких наиболее простых классов функций мы и переходим. Все ниже описываемые классы представляют из себя функции, интеграл от которых после одной или ряда замен или применения метода по частям, сводятся к интегрированию рациональной дроби. При этом мы будем говорить, что интеграл от рассматриваемого выражения рационализируется указанной специальной подстановкой.
Иноскозательно, читатель может представить рациональные дроби в виде прекрасного озера, в которое впадает множество рек, речушек и ручейков, каждая из которых символизирует некоторую рационализирующую подстановку.
Количество рационализирующих подстановок достаточно велико. К счастью вовсе необязательно помнить их все. Для сдачи экзамена достаточно выучить основные.
§ 7. Универсальная тригонометрическая подстановка
(Интегрирование рациональной функции от синуса и косинуса)
Пусть дана рациональная функция от двух переменных R(x, y). Если вместо переменных (х, у) поставим соответственно (cosx, sinx), то получим рациональную функцию от cosx и sinx – R(cosx, sinx).
Рассмотрим интеграл от этой функции. Произведем замену, которую называют универсальной тригонометрической подстановкой t = tg(x/2). Тогда x = 2arctgt и , следовательно, dx = 2*(1 + t2)-1dt.
На основании известных тригонометрических формул
sinx = sin2(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2)( sin2(x/2)+cos2(x/2))-1=
2tg(x/2)( 1+tg2(x/2))-1 .
cosx = cos2(x/2) = cos2(x/2)-sin2(x/2) = (cos2(x/2) – sin2(x/2))(sin2(x/2) + cos2(x/2))-1=
(1 – tg2(x/2))(1 + tg2(x/2))-1.
Таким образом, переходя к переменной t, мы выражаем sinx, cosx и dx через рациональные дроби от t, sinx = 2t( 1 + t2)-1 ; cosx = (1 – t2)(1 + t2)-1 ; dx = 2*(1 + t2)-1dt, поэтому
.
Подынтегральная функция в правой части равенства, в силу свойств рациональных дробей, является рациональной дробью. В итоге, следуя общей схеме рационализации, мы получили некоторый интеграл от рациональной функции. Говорят, что интеграл рационализировался универсальной тригонометрической подстановкой.
Универсальную
тригонометрическую подстановку
нецелесообразно использовать всегда
при интегрировании рациональной функции
от синуса и косинуса. Например, применение
универсальной тригонометрической
подстановки к интегралам
,
приводит к рациональным функциям,
которые интегрируются «не сразу».
Применение формул
;
дает намного более быстрый результат.
Упражнение
8.
Найти интегралы
,
,
используя тригонометрические формулы.
При поиске интеграла от тригонометрических функций часто ключевую роль играют тригонометрические формулы.
Упражнение 9. Найти интегралы
,
,
,
используя тригонометрические формулы
,
,
.
К сожалению, даже
такой простой с виду интеграл
,
где p
и q
– рациональные числа, берется в
элементарных функциях далеко не всегда.
При помощи подстановки
этот интеграл
сводится к дифференциальному биному,
который рассматривается ниже, в § 10.
Упражнение
10.
Сделать подстановку
в интеграле
.
§ 8. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
Рассмотрим интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида
,
где а, b, с и d – некоторые постоянные, m - любое целое положительное число, а R – некоторая функция двух переменных. Функцию такого вида мы будем называть дробно-линейной иррациональностью. Докажем, что интеграл от этой функции при ad-bc O рационализируется подстановкой tm = (ax + b)*(cx + d)-1 . В самом деле, разрешая последнее равенство относительно х, получим: x= (dtm – b)*( a – tmc)-1 и, соответственно,
dx = m tm-1(ad – bc)*( a - tmc)-2dt,
так что
.
На основании свойств рациональных функций (1,2,3) выражение в правой части последнего равенства представляет собой интеграл от рациональной функции аргумента t. Тем самым доказано, что интеграл от дробно-линейной иррациональности рационализируется подстановкой t=(ax+b)*(cx+d)-1.
Рассмотрим пример
.
Можно, вполне аналогично, рассмотреть интеграл от рациональной функции нескольких переменных
.
В этом случае следует сделать замену tm =(ax + b)*(cx + d)-1 , при этом число m нужно выбрать так, чтобы все корни извлекались.